о доказательстве невозможности доказательства невозможности

все знают невозможность общей меры у стороны квадрата и его диагонали

как это доказывали древние греки?

я так себе вообразил:

допустим у стороны квадрата и его диагонали таки есть общая мера Х и в этой мере длины строны и диагонали  выражены двумя натуральными числами (из этих - 1, 2, 3, 4, 5... ну и т.д.)

пока оба числа чётные - мы можем увеличивать меру Х вдвое, пока одно из чисел не станет нечётным (или сразу оба-два)

итак, у нас есть три варианта для рассуждений:

1) обе длины в мере Х - нечётные
2) длина стороны квадрата чётная, а диагонали - нечётная
3) длина стороны квадрата нечётная, а диагонали - чётная

очевидно, что площадь "квадрата на диагонали" в два раза больше площади "квадрата на стороне" - достаточно развернуть "квадратный конверт"


http://www.postupivuz.ru/vopros/3458.htm

хотя этот факт и очевиден... он тоже в своё время потребовал доказательства (а что если "плоскость" только кажется плоской, а "на самом деле" чють-чуть кривовата и идеальной плоской плоскости вообще быть не может?) тут пока оставим знак вопроса, но исходим из "ОЧАМИ ВИДНОГО" т.е. очевидного факта, что "квадрат на диагонали" в два раза "больше" "квадрата на стороне" (в том смысле, что если оба можно расчертить на мелкие квадратики с длиной стороны их общей меру Х, то число таких квадратиков внутри" квадрата на диагонали" будет в два раза больше числа квадратиков в "квадрате на стороне")


заметим еще один любопытный и универсальный  факт (для всех маленьких квадратиков внутри одного большого квадрата): если длина стороны большого квадрата чётная  - то маленькие квадратики внутри большого возможно разделить на четыре равне кучки, а если длина нечётная - то даже на две равные кучки не делится (для "очевидности" этого универсалього для всех "нечётных квадратов" факта достаточно отрезать на пересекающихся краях "нечетного квадрата" полоски шириной в 1 меру длины и заметить, что одна из полосок будет всегда длиннее другой на 1 "маленький квадратик")


число маленких квадратиков внути "квадрата на диагодали" всегда в два раза больше числа квадратиков внутри квадрата "на стороне" - значит их чётное число, а значит длина диагонали (в мере Х) тоже четная (иначе и число квадратиков было бы нечетное)

поэтому пунтк 1) и пункт 2) отменяются и остаётся пункт 3) - длина стороны квадрата нечётная, а диагонали - чётная,  а значит число маленьких квадратиков в "квадрате на диагонали" делится поровну без остатка на 4, а значит и половина "квадрата на диагонали"делится на две равные кучки

но половина "квадрата на диагонали" - это "квадрат на стороне", который не делится на две равные кучни (потому что у него сторона нечётная)

значит общей меры Х у стороны и диагонали быть не может!

и что следует из этого рассуждения? а много чего интересного!

продолжение следует ;-)










Отправить комментарий