Introduction to

The Edge of Chaos

Cellular automata might seem like very simple things, but they are related to some very deep questions. For example (to get right to the big one): how do interesting, complex systems, such as living things, arise in a world where one of the most fundamental principles is that entropy, that is disorder, always increases?

Could CA's really have anything to do with such important philosophical questions? Some people think so, in particular people involved in the new field of "artificial life". These people would like to simulate life in a computer (or, maybe, create real computer life). Cellular automata--if they have enough states and rules to give them complex, interesting behavior--are seen as a candidate for artificial life. Patterns of cells in CA's can sometimes display lifelike behaviors, including reproduction. It might be that one-dimensional cellular automatons can never be complex enough to support artificial life, but two-dimensional CA's have been shown to be just as complex as computers themselves, so that if artificial life is possible in computers, then it should be possible in CA's too.

Christopher Langton, one of the founders of artificial life, began his work by studying one-dimensional cellular automata. He thought of one of the states of an automaton as being "dead". All the remaining states were thought of as "alive". Langton only worked with automata with the property that if a cell and are its neighbors are dead, then that cell will remain dead in the next generation.

Now, some CA's are boring because all the cells die out in a few generations or because they quickly settle into simple repeating patterns. Langton said that these CA's were highly "ordered". Their behavior is boring because it is extremely predicatable and easy to describe, so there is not much to say about them. Other CA's are boring because their behavior seems for all intents and purposes to be random. Langton called such CA's "chaotic". Their behavior is boring because it is completely unpredictable, and can only be described as a mass of unrelated details.

But some CA's display interesting, complex, almost lifelike behavior. Langton said that these CA's are near the border between order and chaos. If they were more ordered, they would be too predictable to be interesting; if they were less ordered, they would be too chaotic.

Langton defined a simple number that can be used to help predict whether a given CA will fall in the ordered realm, in the chaotic realm, or near the boundary, on the "edge of chaos." The number can be computed from the rules of the CA. It is simply the fraction of rules in which the new state of the cell is living. (The rule in which a cell and all its neigbors are dead is not counted, since Langton assumed that the new state in this rule is always death.) He called this parameter "lambda."

The lambda parameter of a CA is a number between 0 and 1. If lambda is 0, then all cells die immediately, since every rule leads to death. If lambda is 1, then any cell that has at least one living neighbor will stay alive in the next generation and, in fact, forever. More generally, values of lambda close to zero give CA's in the ordered realm. Values close to 1 give CA's in the chaotic realm. The edge of chaos is somewhere in between.

Unfortunately, we can't simply say that there is a value of lambda that represents the edge of chaos. It's more complicated than that. Here is what Langton found: Suppose you start with a CA with lambda equal to zero, where all rules lead to death. Now, suppose you randomly modify rules one-by-one so that the new rules lead to life instead of death. This causes the lambda value to increase. As you do this, you get a sequence of CA's with lambda values increasing from zero to one. At the beginning, the CA's are highly ordered; at the end they are chaotic. Somewhere in between, at some critical value of lambda, there will be a transition from order to chaos. It is near this transition that the most interesting CA's tend to be found, the ones that have the most complex behavior.

As I've said, though, the critical value for lambda is not a universal constant; it depends on the "path" chosen through the space of CA's. To apply Langton's ideas in the search for interesting CA's, you have to construct such a path and wander along it, looking for the transition between order and chaos. The EdgeOfChaosCA, which is described on the next page let's you do just that.

By the way, does this have anything at all to do with the origin of actual life? Some people think so. They claim that evolution tends to push systems towards the edge of chaos, where complex, interesting behaviors such as life can occur. If you are intrigued by this idea, see the bibliography page. You'll find some suggested readings on cellular automata, complexity, evolution, and the edge of chaos.

The next page describes an applet that you can use to explore cellular automata, Langton's lambda parameter, and the edge of chaos.



Cellular Automata and the Edge of Chaos

Here are a few places you can go to read more about cellular automata and the idea that complex, interesting things happen on the edge of chaos, on the boundary between boring order and overwhelming disorder.

Steven Levy, Artificial Life. Pantheon Books, 1992. An exciting, interesting book, written for a general audience. Read it. You'll find cellular automata, the edge of choas, emergence, and lots more.

M. Mitchell Waldrop, Complexity: The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos. Simon and Schuster, 1992. Another well-written book for a general audience, concentrating on the Santa Fe Institute. The edge of chaos is a central idea.

Stuart Kauffman, At Home in the Universe: The Search for Laws of Self-organization and Complexity. Oxford University Press, 1995. Kaufmann explains his ideas about how various forms of complexity, including life itself, can arise from simple rules. The "Edge Of Chaos" idea plays a large role in his thinking.

Christopher Langton, "Computation at the Edge of Chaos: Phase Transitions and Emergent Computation." In Emergent Computation, edited by Stephanie Forest. The MIT Press, 1991. Pages 12-37. A technical paper in which Langton explains his investigation of one-dimensional cellular automata and discusses his "lambda" parameter.

Christopher Langton, editor, Artificial Life. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, 1989. The procedings of the first artificial life workshop, held in 1987 at the Los Alamos National Laboratory. Technical papers. Includes an introductory survey by Langton of the field of artificial life.

Паутина Жизни. Новое научное понимание живых систем. Фритьоф Капра
Изд. «София» (Киев-Москва), ИД «Гелиос» (Москва), 2002. 336 с.)
Часть 1. Культурный контекст
Глава 1. Глубокая экология: новая парадигма
Часть 2. Расцвет системного мышления
Глава 2. От частей к целому
Глава 3. Теории систем
Глава 4. Логика разума
Часть 3. Части головоломки
Глава 5. Модели самоорганизации
Глава 6. Математика сложных систем
Часть 4. Природа жизни
Глава 7. Новый синтез
Глава 8. Диссипативные структуры
Глава 9. Самосозидание
Глава 10. Раскрытие жизни
Глава 11. Сотворение Мира
Глава 12. Знать о своем Знании
Эпилог. Экологическая Грамотность
Приложение: Возвращаясь к Бейтсону
Структурный психоанализ Жака Лакана.

Возникновение структурного, или лингвистического, психоанализа связано с именем Жака Лакана (1901-1981). Начав свою карьеру как практикующий врач, Лакан в 30-е годы серьезно изучает философию, психологию, культуру, искусство, литературу. Итогом его стремления синтезировать результаты медицинского и гуманитарного знания стала докторская диссертация "О параноическом психозе и его отношении к личности" (1932). Выводы этой работы широко использовались деятелями художественной культуры. (В частности, высказанные Лаканом идеи легли в основу "параноической критики" С.Дали.) С середины 30-х годов Лакан посвящает себя педагогической деятельности. Научная работа в Парижском психологическом и Французском психоаналитическом обществах, руководство Парижской фрейдистской школой (1964-1980) выдвигают его в ряд известных европейских психоаналитиков.

Научный авторитет Лакана связан с тем новым - структуралистским - направлением психоаналитических исследований, начало которому было положено им в середине 50-х годов. Новизна его взглядов состоит в том, что он вышел за рамки как классического структурализма, так и ортодоксального фрейдизма, наметил новые перспективы исследований. Лакан возглавил влиятельную научную школу, не распавшуюся и после его смерти. Многочисленные ученики и последователи продолжают развивать его идеи в области психоаналитической терапии, этнологии, риторики. Философско-культурологические взгляды Лакана, определившие в свое время теоретическую направленность журнала "Тель Кель", составили фундамент структурно-психоаналитической теории культуры.

Лакан исходит из того, что бессознательное структурировано как язык. Он стремится к рациональному истолкованию бессознательного, ищет взаимосвязи его эмпирического и теоретического уровней, неклассические принципы обоснования знания, исследования бытия и познания. Лакан пересматривает декартовское cogito ergo sum, полагая, что субъект не исчерпывается cogito, субъекты бытия и мышления расположены на разных уровнях. Но тогда и обоснование бытия мышлением должно быть опосредованно речью и, следовательно, двучленная формула связи бытия и сознания неверна. Творческая функция речи толкуется как функция символического, первичного по отношению к бытию и сознанию, речь предстает здесь как универсальный источник креативности, порождающий как понятия, так и сами вещи. Символично в этом плане поведение ученого в аудитории - от фрейдистских символов серпа Кроноса и посоха Эдипа, нашитых на его докторской шапочке, до фигурок слонов, которые он дарит своим ученикам в конце занятий. Великолепный слон изображен и на обложке первого тома "Семинара Жака Лакана". Тема слона образует сквозное действие книги. При чем здесь слоны? Лакан сравнивает речь с мельничным колесом, посредством которого желание беспрестанно опосредуется, возвращаясь в систему языка. Слово в этом контексте не просто приравнивается к вещи. Слово "слон", полагает он, даже реальнее живого слона. Произнесение этого слова вершит судьбы слонов. Благодаря симюлическим свойствам языка в узкую дверь парижской аудитории в любой момент могут войти слоны. Ведь мыслить - значит заменить живого слона словом "слон", солнце - кругом. Иными словами, понягие замещает вещь.

Cogito ergo sum для Лакана - символ плоского, банального, мещанского сознания, воплощение пошлой "самоуверенности дантиста". Непреходящая заслуга Фрейда состоит, по его мнению, в том, что произведенная последним "коперниканская революция в философии" коренным образом изменила отношение человека к самому себе. Суть фрейдовского подхода к проблеме личности заключается в том, что сознание утратило универсальность, стало непрозрачным для самого себя. Главным в человеке признавалось бессознательное желание. Либидо превратило дантиста в творца.

Современную философскую ситуацию Лакан определяет как "теоретическую какофонию". Ее методологические дефекты связаны с неадекватным истолкованием учения Фрейда, в частности, попытками психологизации либидо у К. Юнга, американских неофрейдистов. Психологизация либидо в неофрейдистских концепциях заводит, по мнению Лакана, в теоретический тупик; психоанализ и общая психология несовместимы.

Задача структурного психоанализа - восстановить понятие либидо как воплощения творческого начала в человеческой жизни, источника плодотворных конфликтов, двигателя человеческого прогресса. Открытие Фрейда выходит за рамки антропологии, так как формуле "все - в человеке" он противопоставляет догадку о том, что "в человеке - не совсем все" (хотя бы потому, что человек из-за инстинкта смерти отчасти оказывается вне жизни). И в этом смысле Фрейд - не гуманист, а антигуманист, пессимист, трагик.

Лакан, таким образом, с антифеноменологических позиций критикует интуитивистский, субъективистский подход к человеку, противопоставляет общей теории субъекта, философскому антропологизму теоретический антигуманизм. Он видит свою задачу в отыскании тех механизмов ("машин"), которые, несмотря на многообразие психических структур, создают предпосылки для формирования социума. В этом смысле "машина - портрет человека". Но это не "человек-машина" Ламетри. Специфика человека-машины Лакана состоит в свободе выбора. Именно свобода, подчеркивает он, отличает человека от животного, подчиненного внешнему миру и поэтому как бы застывшего, превратившегося в "застопорившуюся машину". Животный мир - область реального, человеческий - сфера символического. Свобода реализуется в языке и художественном творчестве, благодаря которым мир человека превосходит границы его реального существования. Так, для Эдипа не имеет значения реальное бытие вещей, главное здесь - речевой узел, являющийся тем организационным центром, от которого, как Ат обивочного гвоздя, разбегаются лучи, пучки значений (например, ^ипов комплекс). Для человека как субъекта, мучимого языком, речь Не менее весома, чем реальность.

Размышляя о сущности бессознательного, Лакан оспаривает и гегелевское представление о понятии как времени вещи, и фрейдовское понимание бессознательного, находящегося вне времени. Не только бессознательное, но и понятие существуют вне времени, полагает он. "Я мыслю там, где я не есть, и я есть там, где я не мыслю" - этот тезис Лакан противопоставляет декартовскому ubi cogito ibi sum. Бессознательное - это чистое время вещи, а его материальным предлогом может быть все, что угодно. В таком контексте "поступок - это речь".

Развивая ставшими традиционными для нео- и постфрейдизма тенденции десексуализации бессознательного, Лакан выстраивает оригинальную концепцию его денатурализации, дебиологизации. Он закладывает новую традицию трактовки бессознательного желания как структурно упорядоченной пульсации. Идея эта активно развивается его последователями. Термин "пульсация" - один из ключевых для постфрейдизма. Утрачивая хаотичность, бессознательное становится окультуренным, что и позволяет преобразовать пульсации в произведения искусства и другие явления культуры. Внутренний структурирующий механизм объединяет все уровни психики, он функционирует подобно языку, и именно в этом смысле следует понимать лакановские слова о том, что бессознательное - это язык: речь идет не только о лингвистическом понимании языка на символическом уровне, но и о "языке" пульсаций на более низком уровне воображаемого, где психология и Физиология еще слиты воедино.

В методологическом плане одной из сквозных тем теории Лакана является вопрос о соотношении реального, воображаемого и символического. Эти понятия он считает важнейшими координатами существования, позволяющими субъекту постоянно синтезировать прошлое и настоящее. Оригинальность лакановской концепции по сравнению с Фрейдовской состоит в том, что место Оно занимает реальное, роль Я выполняет воображаемое, функцию сверх-Я - символическое. При этом реальное как жизненная функция соотносимо с фрейдовской категорией потребности, на этом уровне возникает субъект потребности. На его основе формируется воображаемое, или человеческая субъективность, субъект желания. Бессознательное символическое противостоит У Лакана сознательному воображаемому, реальное же по существу остается за рамками исследования.

Лакан считает трехчлен "реальное - воображаемое - символическое" первоосновой бытия, стремится исследовать соотношения его составляющих методами точных наук. Опираясь на законы геометрии, он пьггается представить феноменологию психического графически, изображая на плоскости двугранный шестиплоскостной бриллиант. Средний план, режущий бриллиант пополам на две пирамиды, он представляет как гладкую поверхность реального. Однако поверхность эта испещрена дырами, пустотами бытия (речи) и ничто (реальности), в которые с верхнего уровня символического посредством языка попадают слова и символы. В результате таких синтезов на стыках различных граней, воплощающих реальное, воображаемое и символическое, образуются основные человеческие страсти и состояния. На стыке воображаемого и реального возникает ненависть, реального и символического - невежество. Стык граней воображаемого и символического порождает любовь.

От исследования воображаемого, наиболее полно воплощающегося в любви, Лакан переходит к изучению символического и его проявлений - языка, речи и искусства. "Символическое первично по отношению к реальному и воображаемому, вытекающим из него", полагает он. Символическое как первооснова бытия и мышления определяет структуру мышления, влияет на вещи и человеческую жизнь. Человек становится человечным, когда получает имя, т.е. вступает в вечную символическую связь с универсумом. Наиболее чистая, символическая функция языка и заключается в подтверждении человеческого существования. Речь же способствует узнаванию человека другими людьми, хотя по своей природе она амбивалентна, непроницаема, способна превращаться в мираж, подобный любовному. Если символическая природа речи проявляется в ее метафоричности, то признак символической природы искусства - образность: "Это новый порядок символического отношения человека к миру".

Изучая природу художественного образа методами структурного психоанализа, Лакан стремится использовать результаты естественнонаучного знания. Он подчеркивает связь психоанализа с геологией (исследование пластов подсознания) и оптикой (анализ "стадии зеркала"). В результате возникает концепция транспсихологического Я. В ее основе лежат психоаналитические идеи двухфазового - зеркального и эдиповского - становления психики.

Лакан подразделяет художественные образы на реальные, воображаемые и символические. Восприятие в сфере реального оказывается расколотым. Реакцией на это в плане воображаемого является стремление к разрушению объектов отчуждения, агрессивному подчинению их собственным интересам. Единым, тотальным, идеальным восприятие может стать лишь благодаря символическому, воплощающемуся в образах искусства - идеального зеркала. Наиболее адекватной моделью зеркально-символической природы искусства Лакан считает кинематограф. Исследуя тесные связи искусства кино и научно-технического прогресса, он создает "машинную", неантропоморфную концепию генезиса и структуры эстетического сознания. Ход его рассуждений следующий.

Реальный объект, отражаясь в зеркале, утрачивает свою реальность, превращается в воображаемый образ, т. е. феномен сознания. Однако что произойдет, если в один прекрасный день люди, а значит и сознание, исчезнут? Что в этом случае будет отражаться в озерах, зеркалах? Ответ на этот вопрос можно найти, если представить себе, что обезлюдевший мир автоматически снимается на пленку кинокамерой. Что же увидят на киноэкране люди, если они снова вернутся на Землю? Кинокамера запечатлеет образы явлений природы - молнии, взрывы, извержения, водопады, горы и их отражение в зеркале-озере. То есть киноискусство зафиксирует феномены эстетического сознания, не нашедшие отражения в каком-либо Я - ведь за автоматической кинокамерой не стоял кинооператор со своим Я. Из этого примера Лакан делает вывод о том, что эстетическое сознание в целом и его структурные элементы - субъекты и машины (кинокамера, сцена, мольберт и т.д.) - относятся к области символического. Он предлагает заменить классическую формулу "Deus ex machina" (Бог из машины) на современную - "Machina ex Deo" (Машина из Бога). В общем контексте структурного психоанализа "машина из Бога" означает намек на возможность высшего знания, лежащего вне вещей. Лакан не случайно подчеркивает, что полнота самореализации субъекта зависит от его приобщенности к мифам, обладающим общечеловеческой ценностью, например мифу об Эдипе. С этой точки зрения сущность символизации в искусстве заключается в забвении травмы, переживания, а затем - возврате вытесненного эдипова комплекса на языковом уровне, в словесной игре.

Обращаясь в этом ключе к структурной психокритике творчества Достоевского, Лакан стремится доказать, что XX век заменил кредо XIX в. "Если Бога нет, значит все дозволено" на формулу "Если Бога нет, вообще ничего не дозволено". Формула эта, по его мнению, объясняет ту фундаментальную нехватку, фрустрацию, из которой проистекают неврозы, характеризующиеся фантазиями и иллюзиями на уровне воображаемого, и психозы, симптомы которых - утрата чувства реальности, словесный бред - свидетельствуют о принадлежности к сфере символического. В качестве современной иллюстрации сниженного бытования этого тезиса Лакан предлагает структурный психоанализ книги Р.Кено, живописующей любовные приключения молоденькой секретарши во времена ирландской революции. "Если английский король сволочь, все дозволено", - решает она и позволяет себе все. Девушка понимает, что за такие слова можно поплатиться головой, и ей все снится отрубленная голова. Этот сон означает, что английский король - сволочь. Во сне цензурные запреты не осмысляются, но разыгрываются, как в театре. Сон секретирует и генерирует символический мир культуры.

С другой стороны, с методологической точки зрения весьма существенно, что и процесс символизации протекает бессознательно, он подобен сну. Еще одна оригинальная черта методологии Лакана связана с концепцией сновидений. В отличие от классического фрейдизма, он распространил "законы сновидений" на период бодрствования, что дало основания его последователям (например, К.Метцу) трактовать художественный процесс как "сон наяву". Сон и явь сближены на том основании, что в них пульсируют бессознательные желания, подобные миражам и фантомам. Реальность воспринимается во сне как образ, отраженный в зеркале. Психоанализ реальности позволяет разуму объяснить любой поступок, и одно это уже оправдывает существование сознания. Однако сон сильнее реальности, так как он позволяет осуществить тотальное оправдание на уровне бессознательного; вытеснить трагическое при помощи символического; превратить субъект - в пешку, а объект - в мираж, узнаваемый лишь по его названию при помощи речи. Лакан разделяет традиционную структуралистскую концепцию первичности языка, способного смягчить страсти путем вербализации желания и регулировать общественные отношения.

О миражности художественных "снов наяву" свидетельствует, по мнению Лакана, "эстетическая структура "Похищенного письма" Э.По. Поведение персонажей повести характеризуется слепотой по отношению к очевидному: ведь письмо оставлено на виду. Письмо - это главное действующее лицо, символ судьбы, зеркало, в котором отражается бессознательное тех, кто соприкасается с ним. Персонажи меняются в зависимости от того отблеска, который бросает на них письмо-зеркало. Так, когда министр подписывает письмо женским почерком и запечатывает его своей печатью, оно превращается в любовное послание самому себе, происходит его феминизация и нарциссизация. Королева и министр - это хозяин и раб, разделенные фигурой умолчания, письмом-миражем. Именно поэтому письмо крадут и у министра, он не в силах удержать вербализованный фантом. Осуществляется "парадокс игрока": деяния министра возвращаются к нему подобно бумерангу. И ловкость Дюпена, обнаружившего письмо, тут ни при чем. В структуре повести он играет роль психоаналитика. Ведь прячут не реальное письмо, а правду. Для полиции же реальность важнее правды. Заплатив Дюпену, его выводят из игры. Тогда опыт Дюпена-детектива преобразуется в эстетический опыт Дюпена-художника, прозревшего истину жизни и искусства.

Само существование искусства как двойника мира, другого измерения человеческого опыта доказывает, по мнению Лакана, миражность, фантомность субъективного Я, которое может заменить, сыграть актер. Психодрамы двойничества, квинтэссенцией которых он считает "Амфитрион" Мольера, свидетельствуют о том, что человек - лишь хрупкое звено между миром и символическим посланием (языком). Человек рождается лишь тогда, когда слышит "слово". Именно символически звучащее слово цензурирует либидо, порождая внутренние конфликты на уровне воображаемого, напоминает Эросу о Танатосе и мешает человеку безоглядно отдаться своим наклонностям и влечениям.

Разрабатывая свою концепцию языка, Лакан опирается на ряд положений общей и структурной лингвистики Ф. де Соссюра, Н.Хомского, Я.Мукаржовского. То новое, что он внес в методологию исследования в этой области знания, связано прежде всего с тенденциями десемиотизации языка. Лакан абсолютизировал идеи Соссюра о дихотомии означаемого и означающего, противопоставив соссюровской идее знака как целого, объединяющего понятие (означаемое) и акустический образ (означающее), концепцию разрыва между ними, обособления означающего. Методологический подход Соссюра привлек Лакана возможностью изучать язык как форму, отвлеченную от содержательной стороны. Опыт практикующего врача-психоаналитика укрепил его в мысли о том, что в речевом потоке пациента-невротика означающее оторвано от означаемого (последнее и надлежит выявить в ходе диалога, распутав узлы речи и сняв таким образом болезненные симптомы), означаемое скользит, не соединяясь с означающим. В результате такого соскальзывания из речи больного могут выпадать целые блоки означаемого. Задача структурного психоанализа - исследовать структуру речевого потока на уровне означающего, совпадающую со структурой бессознательного. Методологической новизной отличается также стремление соединить в рамках единой теории структурно-психоаналитические представления о реальном, воображаемом, символическом; означаемом и означающем; синхронии и диахронии, языке и речи.

Лакан сопрягает означаемое с воображаемым значением речевой диахронии. Означающее же лежит в плане символической языковой синхронии. Означающее главенствует над означаемым, оно тем прочнее, чем меньше означает: язык характеризуется системой означающего как такового. "Чистое означающее есть символ".

Это положение имеет для структурного психоанализа принципиальное значение. Если бессознательное, означающее и символическое объединены единым структурирующим механизмом, то изучение фаз символизации в искусстве позволит прийти не только к фундаментальным эстетическим, но и к общефилософским выводам, затрагивающим все человечество.

Фазами символизации в эстетической концепции Лакана являются метафора и метонимия. Лакан считает метафору и метонимию методологическими универсалиями, применимыми на любом уровне исследования бессознательного (метафора - симптом, метонимия - смещение), лингвистического, эстетического.

Ориентация на метафоричность или метонимичность лежит, по мнению Лакана, в фундаменте двух основных художественных стилей современности - символического и реалистического. Символический, или поэтический, стиль чужд реалистическим сравнениям, метафоричен, ориентирован на метафорическую взаимозаменимость значений. В реалистическом стиле целое метонимически заменяется своей частью, на первый план выступают детали. Лакан ссылается здесь на реализм Л.Толстого, которому порой для создания женских образов достаточно мушек, родинок и т.д. Однако и эти мелкие детали, подчеркивает Лакан, могут приобретать символический характер, поэтому следует говорить лишь о "так называемом реализме". Ведь язык, полагает он, называет не вещь, а ее значение, знак. Значение же отсылает лишь к другому значению, а не вещи, знак - к другому знаку. Таким образом, "язык - это не совокупность почек и ростков, выбрасываемых каждой вещью. Слово - не головка спаржи, торчащая из вещи. Язык - это сеть, покрывающая совокупность вещей, действительность в целом. Он вписывает реальность в план символического". Только "язык-птицелов" способен внести в жизнь правду.

Образ языковой сети, окутывающей мир и превращающей его в ироничный текст, стал одной из философских доминант постмодернистской культуры. Лакановские идеи структуры бессознательного желания, его оригинальная концепция соотношения бессознательного и языка, децентрированного субъекта дали импульс новой, отличной от модернистской, трактовке художественного творчества. Привлекательным для теоретиков и практиков постмодернизма оказались также постфрейдистские интерпретации трансферта и пульсации, связанных с такими фазами символизации в искусстве как метафора и метонимия, а также феноменами скольжения означаемого.
Вот думаю... одна буква могла бы изменить мир.

Вот, по-русски говорят - "на Украине", а кто-то настаивает, что праильно - "в Украине". И если появится официальный "украинский русский" (типа американского английского), то официальный статус русских на Украине оформится без поддержки России - те, кто сегодня борется за "в Украине", будут вынуждены бороться за международное признание языковых прав этих особых украинских русских:-)

Требую официального (на международном уровне!) признания статуса особого нерусского ("в-украинского") языка и соответствующей общности людей, так говорящих (а в будущем - политической нации, кто знает?), для которых норма говорить - "в Украине", а не "на Украине" :-)

За русских на Украине! За "в-украинцев"! Ура!!!

У кого есть право на язык? Вроде как такое право принадлежит только богу, или никому, если бога нет... Но право на правописание точно есть у простых смертных или организаций, ими созданных. Пример - Java. Sun Microsystem отсудил у Microsoft право на развитие диалекта Java.

Вот так!

... в-уки против на-уки - ясно, кто победит...

За науку! Ура!!!
цикл континуума (дерево - лес - экосистема)
цикл реальности (нелинейная геометрия - законы физики - антропный принцип)
цикл познания (самосознание - доказательство аксиом - парадоксальная норма)

четверг, 25 января, 2007

Любопытный блог :-)



Просто и сермяжно о науке для математиков

Всем привет!
Разумеется, ни один нормальный человек не может интересоватся всем одновременно и сразу. Мои нынешние интересы могут показаться разбрасыванием, но на самом деле они растут как ноги и уши от одного зубного корня – опыта работы с нейросетями для аппроксимации многомерных сложных зависимостей. Как известно, идеальных решений в этой области не бывает, но когда надо решать какую-то конкретную задачу и время торопит, волей неволей забираешься в дебри теории, ищешь обходные пути и варианты и наталкиваешься на странные параллели от которых дух захватывает. Ну, думал ли я когда-нибудь, что задумаюсь о судьбах динозавров и жизни на краю хаоса?
В этой жизни всё очень плотно связано. Достаточно просто чем-то прикладным заняться и быстро начинаешь видеть, что круг методов по сути один и тот же. Ну вот, к примеру, приходилось заниматься распознаванием образов, оптимизацией и прогнозированием. Использовал разные методы и общепринятые и собственные. Сейчас поумнел и вижу, что для этих таких разнородных задач методы решения схожи – они идут из жизни. Ведь каждый день мы сталкиваемся с распознаванием ситуаций, попытками оптимальным образом распорядиться в распознанной ситуации, да еще предвидеть близкие и отдаленные последствия. Постоянное принятие решений в условиях неопределенности и риска создало человека, да и вообще живое как совершенные математические машины. Глядя в далекое прошлое на находки, которые методом бесконечных проб и ошибок нашла жизнь, можно увидеть очертания грядущих знаний.
Ну вот как вам к примеру идея о том, что жизнь преимущественно цветет на краю хаоса, в условиях нестабильности и лишений. И имеет очень реальные шансы загнуться при наступлении спокойствия и благополучия. Такое уже было не раз – 3, 65, 250, 370 млн лет назад. Похоже, что динозавры вымерли не напрямую от отравления иридием или огромной волны в результате падения 65 млн. лет назад на Юкатане огромного метеорита. Это произошло еще через сотни тысяч лет, когда всё казалось бы должно было успокоиться. Есть в этом какая-то загадка. Которая запросто может оказаться имеет отношение к нам современным. Ведь мы ратуем за равенство,за стабильность, предсказуемость, за то, чтобы все были сыты и обуты, согреты и образованы. Это ведь так естественно! Но это и опасно. Недаром Стивен Хокинг недавно высказал мысль о неизбежности освоения космоса. Нет, не оттого, что это очень интересно. Просто иначе вымрем, лишив себя реальных проблем – так этот мир устроен.

Роль личности в истории.
Ах, какие помню споры были и как нам марксисты-ленинисты доказывали одно, а другие другое, но прямо противоположное. Теперь представьте себе модель, по которой социум движим неким критерием по пути к оптимуму cовершенства. Или скажем комфортности. Это как ручеек, стекающий с горы – чем ниже тем комфортнее. Те кто в середине струи движутся спокойно и размеренно, те кто на краю бьются и разбрызгиваются о камни, виляют по неровностям. Это время когда социум точно знает куда идти.
Потом встречается небольшое углубление и спокойные решают, что это их гавань. Но народу прибывает, всем места не хватает и надо дальше куда-то течь. Но куда? Время разброда и шатания, время революционеров, горлопанов, пророков и провидцев. И в конце-концов переполнившаяся чаша проливается потоками в разные стороны. Образуются новые партии, нации, народы, виды и подвиды. А всего-то локальный минимум.
А потом поток напарывается на седловую точку – это когда как и в локальном минимуме все частные производные обращаются в нуль, но сигнатура квадратичной формы неэллиптическая. Т.е. не все только минусы или плюсы, а и вразброд. Слегка задержавшись на хребте, народ поволнуется куда идти. Но крайние рванут в разные стороны куда им ближе и только самые средние долго будут еще сомневаться, пока все не разбегутся, не разбредутся. Вот и опять история «единого народа» разделилась. Опять критическая точка. А мало ли их по жизни?
Так и с личностями - их никто не слушает и никому они не нужны пока поток течет быстро и могуче по градиенту, матрица гессиана положительно определена и собственные вектора что надо!
И наоборот, в критических точках, когда градиент вырожден, принятие дальновидного решения очень важно. Идти-то почти всё-равно куда, то ли за белыми, то ли за красными... но всё-равно пожалеешь.
Это я вам описал как решается оптимизационная задача – поиск ближайшего минимума, выход из него, переходы через седла, конечный поиск глобального и вечные сомнения, что могло бы быть и лучше.
И где-то наверное так оно и есть.

Нейронные сети

Вы в курсе что такое нейронные сети НС? Бьюсь об заклад, что большинство не знает и знать не желает. Сам был такой. Я до совсем недавнего времени был совсем ка и вы не в курсе. Казалось, что это что-то неподъемно сложное, топ науки. Не для простого ума. Но оказалось, что всё дело в шариках, которые любят рисовать, когда рассказывают про то как устроен искусственный нейрон или Перцептрон Розенблатта и как из них строятся сети Хопфилда, Кохонена и пр. Наши мозги устроены не в пример проще, сермяжнее и лучше реагируют на формулу или теорему чем на такие красоты.
Так вот, суть нейронных сетей в теореме Колмогорова-Арнольда, которая утверждает, что любая непрерывная на компакте функция может быть разложена в конечную суперпозицию каких-то заранее известных многомерных функций «фи». Т.е. из многомерной получается одномерная.
Сначала это кажется какой-то ерундой. Но представьте, что эти «фи» всего-навсего линейные функции, заданные на небольших прямоугольных(параллелепипедных) областях. Они стандартны и невыразительны. А дальше мы начинаем их по всякому изгибать, чтобы они получше подходили к искомой зависимости... . Ну, в общем такой финт, больше зависящий от времени работы изгибальщика-примеряльщика, чем от чего-либе другого, т.е. одномерный. Изгибания – это уже одномерная функция «пси», в принципе даже от самих координат не зависящая. Кому интересно в подробностях, могу ссылочку кинуть.
Так вот, теперь представьте, что вы вместо «фи» подставили «искусственные нейроны», на самом деле банальную свертку входного вектора с ковектором весов-параметров. Кстати, и не просто свёртку – там еще смещение d присутствует. Как ни крути, а это просто локальное разложение в ряд Тейлора, которое мы проходили на первом курсе.
А в качестве «пси» что?
Тут не сразу без серьёзного бутыля доходит: в «пси» вошли структура-топология сети – взаимное расположение нейронов и их связей, вид выходного сигмоида – нелинейная функция, зависящая от результата свёртки и... коэффициенты свёртки-веса. Я бы сказал, что интерпретация этой замечательной теоремы в НС довольно вольная, но дело в том, что создатели сетей теорем не читали, а как-то сами догадались.
Наверное трудно сообразить как такая сеть может что-то аппроксимировать? Тут хитрость в том, что свёртки линейны, а сигмоиды создают всевозможные искривления, которые можно подладить под нужную зависимость правильным подбором параметров, которыми являются веса нейронов. О том, что это можно сделать как раз теорема Колмогорова-Арнольда и позаботилась.
Теперь осталось выяснить как получить правильные веса.
Для этого существуют алгоритмы обучения сети на некоторой входной последовательности с известным y=f(V) и V - входным вектором. Так вот, оказывается, для просто нейрона итерационный процесс тренинга выглядит так
где Wk – весовой вектор, a – малый параметр со знаком разности значения y из обучающей последовательности и вычисленного значения на данном этапе итерации. Для всей сети чуть сложнее, и называется мудрёнее «backpropagation», но суть та же.
Вот так просто и это чудо еще и сходится!
Эта магия не может не очаровать неофита в науке и в математике любителя. Не любители конечно же сразу раскусили, что тут не обошлось без метода скорейшего спуска и что всё это в оптимизации давно есть и любому дураку ясно.
Но как изящно! Так совместить давно известное в совершенно новое!
Скрестить ужа и ежа и при этом получить два метра колючей проволоки!

Наверно бывалые люди вспомнят, что аппроксимировать и полиномами можно, и рядами Фурье и вообще любыми ортогональными многочленами, хоть того же Пафнутия Львовича, которым нас Иван Петрович Мысовских так стращал. Но есть ма-ахонькая разница – усложнение полиномов ведет к «проклятию размерности», когда появляется ненужная рябь и хвосты устремяются в бесконечность просто неудержимо. В нейронных сетях если не хватает точности, просто добавляют нейронных мощностей, которые на такой случай всегда под боком. И всё тихо и гладко и думать ни о чем не надо. Написанная выше формула и есть самая высшая математика всей теории НС, достаточная для получения впечатляющих результатов.
Оттого-то так технарям она и по сердцу.
Больше... .

Фракталы, пыль Кантора, континуум гипотеза, голография, хаос
и бессмертная душа.

Люди не толкущиеся в области перечисленных проблем, а таковыми являются большинство из заносчивых математиков, скорее всего подумают, что это просто несвязанный между собою компот из модных слов.


Танцующий кролик

Пыль Кантора, Julia

Существуют многочисленные определения перечисленных понятий, в том числе и «на пальцах», т.е. для кухарок. Но не для математиков, для которых бытовая элементарщина порой доходит лишь на седьмые сутки.
Начнем с фрактала Мандельброта. Это всего лишь умело раскрашенные точки схождения итерационного процесса на комплексной плоскости, описываемого формулой Zk+1 = (Zk)2+С. Аналогичный красивый фрактал дает итерационный процесс Ньютона Xk+1 = Xk-f/f’.
Т.е. какая-то поганая коротенькая формула выдает на гора красочный бесконечно сложный и неповторяющийся мир фрактала. Как он умещается в этой формуле?
Еще вспомнили, что аналоги были и раньше – «пыль Кантора», «чертова лестница», «ковер Серпинского», «линия Пеано». Вспомнили про чудеса с размерностью, которая для перечисленных объектов порой принимает дробные величины: 1.63, к примеру, для ковра. И снова итерации и опять что-то бесконечно усложняющееся, завинчивающееся и падающее неудержимо вниз, внутрь при крайне примитивном описании итерационного процесса.
А еще вспомнили третью фрактальную версию – как поточнее посчитать длину границы бывшего СССР? Ведь задача была серьёзная, длиной гордились и хотели иметь её побольше. И оказалось, что чем точнее её меришь, тем длиннее она становится. В пределе устремляясь к бесконечности.
Что-то типа неопределенности Гейзенберга или линии Пеано, но в масштабах СССР и на радость Политбюро. Ну чем вам не фрактал?
И ведь еще дотошные обнаружили, что при "полете внутрь" фрактальной структуры наблюдается некоторая повторяемость, но не полная, а в виде неявной похожести. Тут же посмотрели на небо, где наподобие солнечной системы вокруг центров галактик кружат светила, сами галактики кружат вокруг центров метагалактик... вглубь посмотрели и узрели, что атом со своими электронами ну очень похож на солнечную систему. А вдруг как там так же стоят на поверхности электрона и задрав микроголовы смотрят на тарелку галактики, которая является всего лишь тарелкой на нашем столе?
Ну и естесственно мысль не дает покоя – если строение Вселенной фрактальное, то оно должно продолжаться бесконечно вглубь, периодически повторяясь в виде всё более и более мелких солнечных систем.

А душа, душа человеческая какое отношение к эти премудростям имеет? Ну не всё сразу – душа материя тонкая, животрепещущая. С ней поаккуратней надо. Поговорим лучше о Хаосе.
Хаос - это явление трудноопределяемое и почти мистическое. Мы знакомы с ним по хаосу в доме или в голове после очередного вала информации, особенно после доброго отдыха. Мы отождествляем хаос с газом и броуновским движением, датчиком случайных чисел и гауссовым, пуассоновским или логнормальным распределениями. А то и с распределением вейбуловским, которое всех нас потихоньку с этого света на тот перетаскивает.
Но интересно, как можно назвать хаосом процесс, строго и неукоснительно подчиняющийся кривой распределения? Что за хаос в газе, когда он состоит из бесконечно повторяющихся идентичных частиц и каждая в принципе ведет себя совершенно предсказуемо, да и газ в целом ведет себя предсказуемо? Дело в предсказуемости: если мы не можем предсказывать на каком-то уровне детализации, то объявляем явление хаосом. Соответственно, должны принимать решения – локальные или глобальные, напрочь минуя промежуточные, заменяя их подбрасыванием монетки – орел, решка.
Вообще понятие хаоса во многом эквивалентно принятому у нас «поведение сложных систем», но что-то есть новое. В частности, в части скачкообразных переходов между разными структурными уровнями, на которых предсказания еще возможны. Это как мелкие предсказуемые объекты соединяясь образуют хаотическую бестолковую толпу. Затем, когда эта толпа укрупнившись становится действительно «толпой», она снова понятна и предсказуема – она уже новый объект и для неё-толпы правила писаны.
Обратите внимание – опять фрактальная структура переходов к новым объектам через изменение размеров наблюдателя или, скажем так, от грубости или тонкости его наблюдательной активности.
А душа?
Ах, да, душа..., да что душа? Поживём – увидим. Вы вот подумайте лучше о загадочной схожести электронов. Ведь их неисчислимые мириады и все они абсолютно одинаковы, различаясь лишь конечным набором – координатами в пространстве, энергией, должно быть еще положением в атоме, чем-то наверное еще. И вот это «еще» вкупе с неопределенностью Гейзенберга смущает – мы не можем указать одновременно точных координат и энергии-импульса электрона. Как тогда доказать, что два из них идентичны? Как поставить их в совершенно одинаковые условия, чтобы гипотезу проверить? Ну ладно, что их нельзя поставить в одно время в одну пространственную точку. Так ведь еще и эту точку не локализировать с достаточной точностью!
Т.е. все они разные, но всегда чем-то индивидуальны.
Наверное это как с солдатами в строю – как ни пытаются бравые командиры добиться кристаллорешетчатой неразличимости зеленых фигур, они всё-равно чем-то всегда различны. И каждый продолжает нести внутри свой индивидуальный мир – душу.
А нужна ли она, душа?
Вот тут и вспомним, кстати, про голографию. Но о ней вы уж точно читали.

Канторовы множества и прочее.

Я не думаю, что многие из вас помнят или даже слышали про теорему Левенгейма-Сколема. Впрочем, сейчас в Интернете всё с легкостью найти можно и никакие университеты и их препы не нужны. Всё просто так в уши влезает, были бы уши. Что бы не заставлять занятых людей шарить по Сети, я вам лучше процитирую. На пальцах:

“Ни одна точка зрения, которая фиксирует только истинностные значения целостных предложений, не может фиксировать референтов, даже если она определяет истинностные значения предложений в любом возможном мире”. Это теорема Патнэма (стр. 33), которую мы постараемся объяснить. Выразим ее в терминах кошек и вишен. Всякий раз, когда вы говорите о вишнях, вы можете иметь референтом то, что я называю кошками, и наоборот. Если бы я со всей серьезностью собирался сказать, что кошка – на коврике, вы бы согласились, поскольку считали бы, что я говорю о том, что вишня – на дереве. Мы можем достичь полного согласия относительно фактов мира, то есть о предложениях, которые мы считаем истинными, и все же, тот факт, что когда я говорю о кошках, вы говорите о том, что я называю вишнями, может так никогда и не выплыть наружу. Более того, ваша система референции может так систематически отличаться от моей, что различие между нами может и не проявиться, независимо от того, какие истины относительно кошек и вишен имеют место.
Это удивительное заключение следует из хорошо известного результата в математической логике, называемого теоремой Левенгейма-Сколема. Основная ее мысль основана на результате работы Левенгейма 1915 года и разработана Ф. Сколемом в 1920 году. В то время казалось возможным охарактеризовать математические объекты, такие как множества, с помощью системы аксиом. Предполагаемый объект, такой как множество, был бы ничем иным, как тем, что удовлетворяет некоторым аксиомам, и таким образом аксиомы определяли бы класс предполагаемых объектов. Более того, это надеялись сделать в единственно хорошо понимаемой области логики, называемой логикой первого порядка, использующей логические связки (“и”, “не”, “или” и т. д.) и кванторы первого порядка (“для любого”, “существует”).
В те времена логики думали, что некое подобие теории множеств могло бы служить основой многих или даже всех ветвей математики. Георг Кантор доказал знаменитый результат. Вначале он прояснил идею того, что некоторые бесконечные множества могут быть больше, чем другие. Затем он показал, что множество подмножеств натуральных чисел больше, чем множество натуральных чисел. Другими словами, он показал, что множество всех действительных чисел, то есть чисел, выразимых в виде (бесконечных) десятичных дробей, больше, чем множество натуральных чисел.
Когда этот факт был переварен и усвоен классическими логиками, Левенгейм и Сколем доказали нечто, что на первый взгляд казалось парадоксальным.
Вы выписываете некоторые постулаты, которые, как вы надеетесь, выражают саму суть множеств, построенных из множеств натуральных чисел. В рамках этих постулатов вы доказываете теорему Кантора, которая говорит, что множество подмножеств натуральных чисел не перечислимо, то есть не может быть поставлено во взаимнооднозначное соответствие с натуральными числами, и таким образом, больше, чем само множество натуральных чисел. Пока все понятно. Чтобы ваши постулаты поняли так, как вы хотите, вы говорите о множествах Кантора. Однако Левенгейм и Сколем доказали, что любая теория, выраженная в логике первого порядка и истинная для некоторой области объектов, также справедлива и для некой перечислимой области. Итак, вы предполагали, что ваши постулаты будут истинны относительно канторовских множеств. Теорема Кантора тут же убеждает нас, что канторовских множеств больше, чем натуральных чисел. Но те же самые постулаты могут быть проинтерпретированы таким образом, что они будут истины для гораздо меньшей области. Предположим, что Р – знак, который в вашей теории означает множество всех подмножеств множества натуральных чисел. Оно больше, чем множество натуральных чисел. Но ваша теория может быть переинтерпретирована так, что Р обозначает нечто весьма отличное, а именно множество, не большее чем множество натуральных чисел.
Одно время теорема Левенгейма-Сколема казалась парадоксальной, но теперь к ней привыкли. Многие люди, изучающие логику, считают ее довольно очевидной, естественной и неизбежной. Они говорят нечто вроде следующего: “для первопорядковой теории должны существовать нестандартные модели”.

А почему бы нас не просветить нашему самому главному и самому уважаемому логику, тулузскому профессору Сергею Соловьёву?

Распознавание образов

Распознавание образов РО – одна из очень популярных тем для прикладной математики. Ею занимаются все кому не лень, но в последнее время она считается едва ли не основной составляющей искусственного интеллекта ИИ. Как будто в распознавании вся суть интеллекта. Разумеется это не так – есть еще и ответные действия, есть предвидение реакции на свои действия, есть еще что-то. Но очень важно, что такая внешне простая и очень прикладная задача признана за часть интеллекта. Ведь сам по себе ИИ всё еще неразрешим, значит и с РО не всё так просто как кажется на первый взгляд.
Я с ней впервые столкнулся в незапамятные желторотые времена, когда заказчик попросил меня создать быстроработающий алгоритм распознавания. Причем меня поразило отсутствие постановки задачи – что распознать, насколько надежно, что такое вообще распознать? Как-то для заказчика само собой подразумевалось, что и так всё понятно. Позже я не раз с этим феноменом сталкивался и каждый раз испытывал некоторое чувство бессилия, даже не оттого, что не решить, а оттого, что люди не понимают чего хотят. Читал всевозможные статьи по этой теме, их пишут как правило люди далёкие от математики, хотя ловко оперирующие громоздкими формулами. Формул много, алгоритмов много, жизнь кипит, контора пишет, остановиться, подумать некогда.
Представьте, что Вы смотрите на картину Пикассо и видите портрет Руссо. Желая рассмотреть поближе обнаруживаете, что это что-то другое, но поначалу не понять. Приближаетесь еще и видите, что это две монахини, арки какого-то строения и прочие детали, издали все вместе образующие вид человечьей головы.
Приближаемся еще больше и образ снова смазывается, разбиваясь на отдельные мазки кисти, еще ближе и видна структура холста, еще... . Там не один, там много образов. Если не задаваться глупыми вопросами и предполагать изначально, что вы с заказчиком мыслите по единому стандарту, то вы быстро распознаете то, что ему нужно и оба будете довольны друг другом.. Но в общем случае это не так тривиально и радужно.

Fuzzy Logic

Это в переводе на русский – нечёткая логика. Немного странный термин и не очень понятно зачем может понадобиться нечеткость, когда все можно решить четко и внятно как на строевом плацу – ать, два? Однако же я с этой штукой столкнулся нос к носу, когда её еще и в помине не было. Т.е. нечеткой логики еще не было, а проблемы уже были. Занимался я обратными задачами матфизики в приложении к практике, и очень нужно было вместе с основным решением получить оценки погрешностей, а еще лучше получить распределение вероятностей, а еще..., в общем разгубастился, но на кафедре теории вероятностей меня быстро остудили – большинство таких задач, увы, современной науке не под силу. Посоветовали что-то типа метода статиспытаний, а так выкручивайся как умеешь. И призадумался и подумал как Манилов: а почему бы на сделать такую арифметику, что вместе с обычными вычислениями одновременно вычислялись бы погрешности или распределения ошибок? Помучился, помаялся и бросил. А другие не бросили и создали Fuzzy Logic и стали знаменитыми. Боско, Заде, слышали? Нет, не слышали – не удивительно. Там, за печкою... .
Основная идея – распределения и операции с ними упрощаются до разумного предела, когда еще смысл действий не совсем теряется, но тащить вычисления без умопомрачительного усложнения на каждом шаге уже можно. Каждая величина вводится как значение и нечеткость – плотность вероятности, линейно спадающая в обе стороны. Обычно в этом случае рисуется плотность нормального распределения Гаусса – куполообразная функция, а здесь она по сути приближается треугольником или трапецией с матожиданием и дисперсией, свойственным обычной случайной величине.
А дальше-больше – сумма этих случайных величин определяется как объединение плотностей распределений! Это конечно же лажа и любой знающий начнет тут же кипеть благородным возмущением и тыкать в учебник пальцем. Да-с, действие, скажем так, нечеткое, однако оно достаточно примитивное, ничего не портит, но суммарная величина получает тоже какое-то распределение, не очень похожее на правильное, но всё же. И вот что любопытно: чем дальше вычисляем, тем эта похожесть как была «на уровне», так ею и остаётся. Т.е. конечное вычисленное и правильное распределения примерно соотносятся так же как первичные гауссоида с аппроксимирующей её трапецией – мы получем похожее на правду распределение сложной случайной величины, вместо того, что бы страдать всей кафедрой теории вероятности от осознания печального факта, что этого никак сделать низ-зя!
Ну а теперь почитаем, что пишут на эту тему другие люди.
Далее... .

Multi-criterion Tasks

Многокритериальные задачи – это формализация старого детского стишка:
Крошка сын пришел к отцу
И спросила кроха:
Что такое хорошо
И что такое плохо?
Т.е. за мудреным названием скрывается старая проблема – понять делать или не делать, казнить или миловать, ехать-не ехать? Это называется «принятием решений в условиях неопределенности и риска» и это целая наука. Решение в конечном итоге всё-таки кто-то принимает и такая важная персона назвается ЛПР – «лицо, принимающее решение». Но проблема в том, что часто ЛПР не очень желают нести ответственность за принятые решения и предпочитают переложить часть ответственности на мелких сошек-стрелочников, которыми в данном случае выступают бедные едва оперившиеся прикладные математики. ЛПР требует на основе собранной информации дать ему взвешенное мнение, дабы освободить себя от груза личной и ненужной ответственности.
Как это делается? В теории, вызываются советники-эксперты, они изучают тему и выкладывают каждый своё мнение. Т.е. один говорит «надо, потому,что...».
Другой выходит следом и говорит «не надо, потому, что...». Сплошное расстройство - и у того и у другого доводы разумные, но решение должно быть какое-то одно. Как свести их воедино? Это ведь тоже для ЛПР проблема – примешь сторону одной команды, скажут, что подыгрывает, примешь другую - подумают, что подкуплен. Т.е. надо еще других специалистов звать, которые будут мнения предыдущих экспертов соединять в единую рекомендацию и что бы никому не обидно было, а ответственность за ответственное решение на себя взяла программа, алгоритм и, в конечном итоге, математика и математики, которые ни уха ни рыла в том о чем, собственно, речь. А можно вообще подальше экспертов отодвинуть и головы их не загружать, спрашивать что-то совсем простое и в результате выдавать «взвешенное» решение? В принципе, можно. Но, как показала практика, тогда головы уже начинают болеть у математиков – как вытащить из экспертов то, что нужно и что вообще нужно и что с этим добром потом делать?
Предположим, что у нас есть входная информация о теме, по которой надо принять решение. Ну, например, отбор пионеров в престижный пионерлагерь типа Артек. Присылают пионеры заполненные по единой форме анкеты, а серьёзные дяди читают и выставляют какие-то оценки, оценки суммируются и набравшие высшие баллы имеют шанс поехать. Описанное формализуется естественным образом – есть входной вектор параметров с компонентами V=(V1-возраст, V2-рост, V3-вес, V4-средняя оценка успеваемости, и т.д.), выраженными в числах. Эти частные пераметры-компоненты входного вектора называются в данной науке критериями На выходе должно быть число – балл, который называется обобщенным критерием или оценкой критерия. Таким образом, это не что иное как функция, называемая функцией полезности, функцией цели, функцией обобщенного критерия и пр., и которая в целом неизвестна. Как это неизвестна, а как же дяди ранжируют кандидатов? Да у них инструкция – рост побольше, вес и возраст поменьше, оценку за четверть опять побольше. Т.е. чем... тем лучше. И наоборот: чем... тем хуже.
Хм, а если у одного рост чуть побольше, а у другого оценка чуть повыше, тогда как? И выдумывают относительную или абсолютную важности критериев, сами критерии ранжируют, жизнь кипит-контора пишет. На каждый вопрос должен быть ответ, вот и усложняется наука, доводится до состояния, когда уже непонятно, а зачем она вообще нужна и не проще ли методом тыка и пальцем в небо на авось?
Обычно экспертов опрашивают именно о важности критериев: насколько важно, чтобы объект был повыше или постройнее или помоложе? Требуют выдать числовые оценки, которые потом добросовестно на что-то нормализуют и запихивают в качестве весов во взвешенную сумму вводимых параметров. Обычно в сумму, но некоторые умудряются запихивать в произведение или в сумму квадратов или что-то смешанное, да еще и в степень возведут – творчество масс границ не знает.
А выдумало ли человечество что-либо более величественное и значимое, чем детсадовское разложение гладкой фукции в степенной ряд Тейлора? Вряд ли, поэтому взвешенная сумма есть не что иное как линейная часть разложения неизвестной многомерной функции, а усилия экспертов сводятся к угадыванию частных производных – в двнном случае весов. Таким образом, несмотря на такую замудренную накоемкую накрутку, всё крутится вокруг линейного разложения, которое работает только если либо функция полезности a priori линейная либо мы рассматриваем её в достаточно малой области где линеаризовать позволительно. А что на практике? А на практике один эксперт приглашен из команды баскетболистов и знает, что лучше повыше, другой из театра лилипутов, сам лилипут и любит тех, что пониже, а представитель швейной фабрики «Большевичка» предпочитает стандарты – статистическое среднее – его сердца идеал. В этом случае мы наблюдаем, что по росту явно имеется экстремальная точка, но приглашенные эксперты нормализуют критерии не глядя на то, что точка разложения плавает от эксперта к эксперту, и сводят всё воедино и усредняют, как температуру по больнице.
А Вы про оптимум Парето слышали? Я так и думал.

Что Роберт Браун видел в свой микроскоп. Приятный аплет и с ним можно даже поиграться

Потерянный мир и куча мелких анимированных динозавриков.

Здесь говорят про искусственный разум и искусственную жизнь вообще

Алгебра и теория чисел. Примерная программа дисциплины. Живо напоминает матмех.

А вот еще забавная страничка для изучения математики. Формулы, формулы....

Вот как выглядит паукообразный фрактал. Бывают и получше, но этот тоже хорош

Для тех кому надо что-то оптимизировать, метод Ньютона-Рафсона крайне примитивен и эффективен


Нейрокибернетика, нейроинформатика, нейрокомпьютеры. Горбань и К.

.Сказка о Тройке. Аркадий и Борис Стругацкие
Понятие аналитического продолжения. Если кто-то забыл.
Курс вычислительной геометрии (англ.)
Метод Группового Учета Аргументов на английском. Во, Украина даёт!
Работы по аналитической геометрии с формулами и красивыми графиками.
Кригинг интерполяция на плоскости. С красивыми картинками(англ.)
.Свойства искусственных нейронных сетей. Популярно и по русски.
Пакет SURFER. На русском.
Наука, наука, наука,... эх, наука!. (рус.)
Если вы желаете попрограммировать последовательный компорт, то вам сюда.
Здесь разговаривают кто о чем, а в частности, и о душе тоже.
Международный клуб ученых, но какой-то нетрадиционной ориентации.

Клуб ниспровергателей ТО. Андрей Ким "Теория Относительности и ошибки А.Эйнштейна".

TEX для WEB.

Нейронные сети - оружие финансиста
Этот нечеткий, нечеткий мир (все о нечеткой логике)
Тропою создателя (все об искусственной жизни) Реинжиниринг бизнес-процессов
Молекулярная информация. Миф или реальность?

Зенкин Александр А., Зенкин Антон А., Насквозь дырявый континуум: от языка абстракций к языку образов. И обратно. "Языки науки – языки искусства". Сборник научных трудов. – Издательство "Прогресс-Традиция", Москва, 2000. Стр. 172-179.



Зенкин Александр А., Зенкин Антон А.

(Вычислительный Центр РАН, e-mail: )

ВВЕДЕНИЕ.. - Как известно, в 1900 году, на II Международном Конгрессе математиков в Париже, Давид Гильберт сформулировал 23 важнейшие проблемы, которые во многом определили лицо всей математики ХХ века. И Первой среди этих знаменитых проблем математики он назвал именно Континуум-Гипотезу Георга Кантора. Однако, сам Кантор сформулировал свою Континуум-Гипотезу в 1878 году, т.е. более чем за полвека до появления того, что сегодня принято называть мета-математикой (или "теорией доказательства") и математической логикой. Можно поэтому констатировать,что ни исторически, ни "генетически" Континуум-Гипотеза не может быть рассматриваема как проблема современной мета-математики или современной математической логики. Возникает вопрос: к какой же области науки относится Континуум-Гипотеза? - Изучение истории этой проблемы позволяет с некоторым удивлением констатировать, что Континуум-Гипотеза относится к области обычной элементарной математики и не совсем обычной элементарной же логики.

Конечно, в науке нередко случается так, что новые методы, развитые в какой-либо одной области науки, помогают решить некоторые старые проблемы какой-то другой области науки. Так, например, знаменитые мета-математические достижения К.Геделя (1938) и П.Коэна (1963-1964) помогли доказать независимость обобщенной Континуум-Гипотезы в рамках аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля [1].

Весьма симптоматично, однако, что сам П.Коэн, касаясь вопроса о разрешимости Континуум-Гипотезы средствами современной мета-математики, высказывает весьма пессимистический прогноз [1]: "... Континуум-Гипотеза является весьма драматическим примером того, что (с нашей теперешней точки зрения) можно назвать абсолютно неразрешимым суждением, ..." (стр.13). К тому же, полное отсутствие какого бы то ни было прогресса в доказательстве (или опровержении) Континуум-Гипотезы средствами мощного аппарата современной мета-математики на протяжении последних десятилетий подтверждает обоснованность такого фатального пессимизма П.Коэна.

Таким образом, становится очевидной необходимость новых путей и подходов к решению Проблемы Континуума. Один из таких новых подходов к пониманию Проблемы Континуума, - был предложен нами в работах [2-5]. Этот не-мета-математический и не-математико-логический подход, основанный на так называемой технологии когнитивной семантической визуализации научных абстракций [6-10], позволил доказать, что Проблема Континуума является уникальной ПСЕВДО-Проблемой канторовской (а значит, и любой современной аксиоматической) теории множеств [2-5]. В настоящей работе описаны некоторые новые результаты, касающиеся гносеологического содержания дихотомической концепции "дискретное - непрерывное" и математической природы континуума.



“Transfinite Numbers themselves are, in a certain sense, new irrationalities. Indeed, in my opinion, the method for the definition of finite irrational numbers is quite analogous, I can say, is the same one as my method for introducing transfinite numbers. It can be certainly said: transfinite numbers stand and fall together with finite irrational numbers.”

Georg Cantor.

Рис.1. Когнитивно-визуальный образ Проблемы Континуума:

a) нумерация уровней деревьев TR и TL;

b) степени основания 2 двоичной системы счисления;

c) двоичное представление "трансфинитно-бесконечных-в-обе-стороны" гипер-действительных чисел современного нестандартного анализа.

На Рис. 1, с помощью метода когнитивной семантической визуализации математических абстракций [6,7] построен когнитивный образ зеркального, т.е. изоморфного, 1-1-соответствия, скажем Y, между множеством Х всех действительных чисел х отрезка [0,1] и некоторым бесконечным множеством целых чисел Î .

Итак, бесконечный двоичный граф TR , является моделью множества Х, а его зеркально-симметричный (здесь линия AB есть зеркало) образ - бесконечный двоичный граф TL - является изоморфной, - в самом строгом математическом смысле, -моделью множества [2].


По-видимому, первое применение "зеркально-симметричной" аргументации в мета-математических доказательствах принадлежит S.Kleene (см. его доказательство теоремы Кантора-Бернштейна в [11], стр. 18 ). Сегодня исследования по применению графической и визуальной симметро-логической аргументации в математических доказательствах проводятся в Visual Inference Lab of the Indiana University by J.Barwise, J. Etchemendy, E.Hammer [12-14]

Используя аналогичные идеи, сводящиеся к адекватной замене формального языка алгебраических изоморфизмов на язык зеркально-симметричных визуальных очевидностей (почти по L.E.J.Brouwer), сформулируем ряд зеркально-симметричных утверждений (теорем), основанных на когнитивно-визуальном образе 1-1-соответствия, Y , между двоичными деревьями TR and TL , представленными на Рис. 1 [2].

ТЕОРЕМА 1. ЕСЛИ геометрическая точка x отрезка [0,1] существует как индивидуальный объект, ТО соответсвующий бесконечный путь x дерева TR достигает w-уровня этого дерева TR.

СЛЕДСТВИЕ 1. Все бесконечные пути x дерева TR достигают w-уровня этого дерева.

СЛЕДСТВИЕ 2. Путь x = 0.000...1w (геометрическая точка в ее обычном смысле) представляет собой наибольшее трансфинитно-малое число (maximal infinitesimal).

ТЕОРЕМА 2. ЕСЛИ бесконечный путь x дерева TR достигает его w-уровня, ТО соответствующий бесконечный путь дерева TL тоже достигает w-уровня дерева TL.

СЛЕДСТВИЕ 1. Все бесконечные пути дерева TL достигают w-уровня этого дерева.

ТЕОРЕМА 3. ЕСЛИ путь дерева TL достигает w-уровня ТО трансфинитное целое число является порядковым числом канторовского w-типа.

СЛЕДСТВИЕ 1. Путь = 1w ... 000 представляет собой наименьшее трансфинитно-большое число, т.е. канторовское порядковое число w, имеющее счетную мощность À0.

СЛЕДСТВИЕ 2 В силу Y, мощность множества всех ÎTL равна мощности множества всех xÎTR , т.е. имеет мощность континуума С.

ТЕОРЕМА 4. ЕСЛИ геометрическая точка x отрезка [0,1] существует как индивидуальный объект, ТО точно в таком же смысле (нас, однако, здесь даже не интересует, в каком именно!) существует канторовское наименьшее трансфинитное число w.

Здесь уместно особо подчеркнуть, что все зеркально-симметричные теоремы являются УСЛОВНЫМИ утверждениями. В частности, мы вовсе не утверждаем, что геометрические точки отрезка существуют как индивидуальные объекты. Но если согласиться с тем, что такие точки существуют именно как индивидуальные объекты, то следует с неизбежностью признать, что в том же точно смысле существуют и трансфинитные целые числа канторовского w-типа. Поэтому все возражения и сомнения, касающиеся свойств дерева TL (особенно, вопроса о существовании и о довольно необычных свойствах трансфинитных целых чисел Î), автоматически (зеркально) переносятся на обычные свойства дерева TR , в частности, на вопросы о существовании и свойствах обычных действительных чисел xÎX, или, что то же, обычных геометрических точек отрезка [0,1], т.е. все такие сомнения и возражения следует, в силу 1-1-соответствия Y, адресовать фундаментальным объектам и понятиям классической арифметики и классической геометрии.

В работах [2-5] были доказаны следующие основные результаты.

1. Пусть x Î X является иррациональным числом отрезка [0,1], т.е.

x = 0.a1 a2 a3 ... ai ... Þ £ 1, где " i [[ai =0] or [ai =1]]. (1)

Тогда, в общем случае, этому числу x, в силу Y, соответствует некий новый математический объект ,

, (2)

представляющий собой трансфинитное целое число Î порядкового типа w.

2. Все трансфинитные целые числа Î имеют один и тот же порядковый тип w.

3. Для любых двух действительных чисел x1 , x2 Î X,


т.е. любые два трансфинитные целые числа 1 и 2 являются онтологически различными математическими объектами в том же самом смысле, в каком являются различными два действительных числа x1 and x2 в рамках классической математики (см. провидческий эпиграф Г.Кантора к этому параграфу).

4. Любая бесконечная подпоследовательность натурального ряда чисел является индивидуальным математическим объектом - трансфинитным порядковым числом w-типа.

5. Теория множеств Г.Кантора содержательно неполна, поскольку в ней существует единственное трансфинитное целое число w-типа в то время, как множество таких чисел имеет мощность континуума.

6. Проблема Континуума в гильбертовском смысле доказательства/опровержения различных версий континуум-гипотезы представляет собой псевдо-проблему канторовской теории множеств.


Рассмотрим теперь когнитивный образ (изоморфную модель) континуума всех действительных чисел отрезка [0,1], представленный на Рис. 2. Здесь любое действительное число (точка) x Î X, представляется (единственным!) бесконечным путем вида:

x = V a1 a2 a3 . . . an . . . , где "n [[an = 0] or [an = 1]],

так что x = £ 1 .

Справедливо и обратное утверждение: любой бесконечный путь на двоичном дереве Рис. 2 определяет единственное действительное число (точку) отрезка [0,1].





[Познание Брахмана. Katha-Upanishada, II, 3]

Рис.2. Когнитивно-визуальная модель множества X всех действительных чисел (точек) отрезка [0,1].

Поскольку наша Конференция называется "Языки науки - языки искусства", хочется подчеркнуть удивительную семантическую "корреляцию" между математическим языком современной теории графов и языком древне-индийского религиозно-философского эпоса, представленную на рис. 2.

Как известно, Брахман - одно из центральных понятий индийской философии и религии индуизма, космическое духовное начало, безличный абсолют, лежащий в основе всего сущего.

С другой стороны, отрезок [0,1] - модель наиболее важной концепции всей науки - идеи непрерывности. В конечном счете, все процессы, протекающие в Природе, характеризуются действительными числами, т.е. элементами отрезка [0,1]. Граф, изображенный на Рис. 2, называется в современной математической теории графов ДЕРЕВОМ, а его вершина V - называется КОРНЕМ этого дерева.

Казалось бы, индуистский Брахманизм (3000-5000 до н.э.) и математическая теория графов (начало ХХ века) не могут иметь между собой ничего общего. С обыденной точки зрения. Однако, даже чисто терминологическое совпадение описаний основных атрибутов Брахмана как фигового ДЕРЕВА, у которого КОРНИ ВВЕРХУ И ВЕТВИ ВНИЗУ …, и графической модели основного поняти науки - концепции непрерывности (где непрерывность - там и дикретность) в форме двоичного ДЕРЕВА, у которого КОРЕНЬ ВВЕРХУ, а ВЕТВИ (ПУТИ) УХОДЯТ ВНИЗ . . . - способны пробудить интуитивно-эстетические ассоциации весьма глубокого гносеологического значения.

Докажем теперь ряд простых утверждений о существовании и свойствах "дырок" в непрерывном континууме.

В мета-математических доказательствах несчетности континуума всех действительных чисел отрезка [0,1] очень большое внимание уделяется "строгости рассуждений". Так, например, С.Клини исключает якобы неоднозначность представления рациональных чисел с помощью СОГЛАШЕНИЯ о том, что две РАЗЛИЧНЫЕ двоично-рациональные записи

0.0111 . . . и 0.1000 . . . (3)

представляют одно и то же рациональное число (как будто устранение или неустранение счетного подмножества может повлиять на мощность несчетного, - и тем более континуального, - множества!?).

С другой стороны, Рис. 2 показывает, что два пути, соответствующие двум различным записям (3) суть онтологически различные математические объекты, отождествление которых означает, что эти два различные пути определяют на w-уровне одну и ту же рациональную точку или, что то же, имеют на w-уровне общую точку, что противоречит самому определению понятия "дерева" теории графов как графа, не имеющего циклов. Таким образом, мета-математическое СОГЛАШЕНИЕ об эквивалентности записей (3) является произвольным с точки зрения математики и просто некорректными с точки зрения логики. Более того, непосредственно на Рис. 2 видно, что два бесконечных пути вида (3) определяют две РАЗЛИЧНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ (ЧИСЛА) на w-уровне, между которыми не существует других бесконечных путей (точек, вещественных чисел) отрезка [0,1].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Два бесконечных рациональных пути вида (3) на бесконечном дереве Рис. 2, между которыми не существует других бесконечных путей, определяют "дырку" на отрезке [0,1], или, другими словами, два рациональных числа r1 и r2 , которым соответствуют бесконечные пути вида (3), определяют дырку в континууме

[0,1]. Очевидно, что расстояние между такими рациональными числами r1 и r2 равно lim{2-n}, т.е. стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

В таком случае справедливы следующие утверждения.

ТЕОРЕМА 5. Любое действительное число x Î [0,1] такое, что 0 < x <>


0.a1 a2 . . . ak, . . . (4)

бесконечный двоичный путь, соответствующий числу x. Фиксируем произвольное целое число k ³ 1, и рассмотрим начальный отрезок

0.a1 a2 . . . ak,

пути (4). В таком случае, два рациональных пути

0.a1 a2 . . . ak, 1 0 0 0 . . .


0.a1 a2 . . . ak, 0 1 1 1 . . .

определяют "дырку" на отрезке [0,1].

СЛЕДСТВИЕ 1. Мощность множества, скажем G, всех дырок (gaps) на отрезке [0,1] не меньше мощности множества C всех бесконечных путей на дереве TR, т.е. имеет мощность, не меньшую, чем мощность множества всей действительных чисел отрезка [0,1], т.е. |G| ³ C.

ТЕОРЕМА 6. Между любыми двумя действительными (в частности, рациональными) числами x1, x2 Î [0,1] такими, что |x1-x2| ¹ 0, содержится хотя бы одна "дырка".


0.a1 a2 . . . ak,

общая часть двоичных путей действительных чисел x1, x2 Î [0,1]. Тогда бесконечные рациональные пути

0.a1 a2 . . . ak, 1 0 0 0 . . .


0.a1 a2 . . . ak, 0 1 1 1 . . .

определяют "дырку" между любыми двумя действительными числами x1 и x2 отрезка [0,1].

СЛЕДСТВИЕ 1. Множество "дырок" на отрезке [0,1] является всюду плотным.


Как известно, фракталом называется геометрический объект, любая часть которого самоподобна исходному объекту. При этом такого рода самоподобие определено относительно операции масштабирования.

Как нетрудно видеть, каждая вершина двоичного дерева на Рис. 2 является корнем нового дерева, абсолютно геометрически подобного (тождественного) исходному дереву. Поэтому любой бесконечный путь, выходящий из корня V можно рассматри-

вать как процесс трансляции (переноса) реплики (т.е. экземпляра) исходного дерева в каждую вершину каждого пути, а само исходное дерево - как геометрический объект, обладающий трансляционной фрактальностью, т.е. как фрактал, на котором самоподобие определено относительно операции трансляции.

Отсюда, в частности, следует, что канторовская идея актуализации бесконечного ряда натуральных чисел 1,2,3, . . . представляется весьма сомнительной даже на интуитивном уровне, поскольку трудно вообразить себе актуальным, т.е. завершенным, процесс, любой, сколь угодно "далекий" n-тый шаг которого является всего лишь НАЧАЛОМ ИСХОДНОГО процесса в форме n+{1, 2, 3, . . . }, или, что то же, простой трансляцией (переносом) начала исходного бесконечного процесса в очередную текущую n-тую точку его потециально-бесконечной "реализации".


Когнитивно-визуальная интерпретация Монадологии Г.В.Лейбница естественна и почти очевидна (см. Рис. 2): каждая вершина дерева, т.е. Простая Монада в смысле Лейбница, является корнем такого же дерева, ("растущего" вниз), т.е. порождает исходный Универсум в смысле Лейбница. Можно сказать, что онтологическая связь между любой вершиной дерева и исходным деревом имеет ту же семантику, что и связь между Монадой и Универсуумом Г.В.Лейбница.

Теперь посмотрите, пожалуйста, очень внимательно на рис. 2. И каждый, кто обладает визуальным мышлением и творческой интуицией (VISUAL THINKING MIND'S EYE) УВИДИТ и УСЛЫШИТ многие из тех великих МЫСЛЕЙ, которые много лет тому назад были высказаны [15] Великим Философом и Математиком,


53. Now, as in the Ideas of God there is an infinite number of possible universes, and as only one of them can be actual, there must be a sufficient reason for the choice of God, which leads Him to decide upon one rather than another. (Theod. 8, 10, 44, 173, 196 sqq., 225, 414-416.)

56. Now this connexion or adaptation of all created things to each and of each to all, means that each simple substance has relations which express all the others, and, consequently, that it is a perpetual living mirror of the universe. (Theod. 130, 360.)

57. And as the same town, looked at from various sides, appears quite different and becomes as it were numerous in aspects [perspectivement]; even so, as a result of the infinite number of simple substances, it is as if there were so many different universes, which, nevertheless are nothing but aspects [perspectives] of a single universe, according to the special point of view of each Monad. (Theod. 147.)

58. And by this means there is obtained as great variety as possible, along with the greatest possible order; that is to say, it is the way to get as much perfection as possible. (Theod. 120, 124, 241 sqq., 214, 243, 275.)

62. Thus, although each created Monad represents the whole universe, it represents more distinctly the body which specially pertains to it, and of which it is the entelechy; and as this body expresses the whole universe through the connexion of all matter in the plenum, the soul also represents the whole universe in representing this body, which belongs to it in a special way. (Theod. 400.)

63. . . . every Monad is, in its own way, a mirror of the universe, and as the universe is ruled according to a perfect order, there must also be order in that which represents it, i.e. in the perceptions of the soul, and consequently there must be order in the body, through which the

universe is represented in the soul. (Theod. 403.)

Acknowledgements. - The author wish to thank the International Science Foundation of G.Soros (Grant No. ZZ5000/114, 1995), the Russian Humanitarian Scientific Foundation (Grant No. 98-03-04348), the Russian Foundation for Basic Researches (Grant No. 98-01-00339) and Ministry of Science and Technologies of Russian (Grants No. 05.04.1179, No. 05.04.1221, 1996-1997) for the financial support of this work. Also, the author wish to thank his permanent co-author and collaborator, system programmer, Anton Zenkin,

6. Л И Т Е Р А Т У Р А

1.Cohen, Paul J. Set Theory and the Continuum Hypothesis. - Moscow : MIR, 1969.

2. A.A.Zenkin, "Cognitive Semantic Visualization Of The Continuum Problem And Mirror Symmetric Proofs In The Transfinite Numbers Theory". - The e-Journal "VISUAL MATHEMATICS", vol.1, issue 2 (1999) at the WEB-Site: or


4. Zenkin A.A., Cognitive Visualization Of The Continuum Problem And Mirror Symmetric Proofs In Transfinite Numbers Mathematics. - ISIS-Symmetry Congress and Exhibitio. Abstracts, pp. 156. Haifa, Israel, 13-19 September, 1998.

5. Zenkin A.A. Cognitive Visualization of the Continuum Problem and of the Hyper-Real Numbers Theory. - International Conference "Analyse et Logique", UMH, Mons, Belgia, 25-29 August, 1997. Abstarcts, pp. 93-94 (1997).

6. Zenkin A.A., Cognitive computer graphics. - Moscow : "Nauka",1991.

7. A.A.Zenkin's WEB-Hompage (new):

8. Zenkin A.A., Waring's problem from the standpoint of the cognitive interactive computer graphics. - "Mathematical and Computer Modelling", Vol.13, No. 11, pp. 9 - 37, 1990.

9. Zenkin A.A., Superinduction: A New Method For Proving General Mathematical Statements With A Computer. - Doklady Mathematics, Vol.55, No.3, pp. 410-413 (1997). Translated from Doklady Alademii Nauk, Vol 354, No. 5, 1997, pp. 587 - 589.

10. Zenkin A.A., Generalized Waring's Problem: G(m,r)£ G(0,r) +m+1 for any m ³ 1, r ³ 3. - Doklady Mathematics, vol 56, No. 1, pp. 499-501 (1997). Translated from Doklady Alademii Nauk, Vol 355, No. 2, 1997, pp. 151 - 153.

11. S.C.Kleene, Introduction to Metamathematics. - D.Van Nostrand Company, Inc., N.Y. - Toronto, 1952.

12. Barwise, Jon, and Etchemendy John, Hyperproof, Stanford: CSLI, and Cambridge: Cambridge University Press, 1994.

13. Hammer, Eric, Logic and Visual Information, in Studies in Logic, Language, and Computation, Stanford: CSLI and FoLLI, 1995.

14. Hammer, Eric M. Symmetry as a method of proof. J. Philos. Logic, v.25 (1996), no.5, 523-543.

15. LEIBNIZ G.W., Monadology, 1898; THE MONADOLOGY by Gottfried Wilhelm Leibniz translated by Robert Latta: