blog.ddtor.com

Зенкин Александр А., Зенкин Антон А., Насквозь дырявый континуум: от языка абстракций к языку образов. И обратно. – "Языки науки – языки искусства". Сборник научных трудов. – Издательство "Прогресс-Традиция", Москва, 2000. Стр. 172-179.

НАСКВОЗЬ ДЫРЯВЫЙ КОНТИНУУМ:

ОТ ЯЗЫКА АБСТРАКЦИЙ К ЯЗЫКУ ОБРАЗОВ. И ОБРАТНО.

Зенкин Александр А., Зенкин Антон А.

(Вычислительный Центр РАН, e-mail: alexzen@com2com.ru )

ВВЕДЕНИЕ.. - Как известно, в 1900 году, на II Международном Конгрессе математиков в Париже, Давид Гильберт сформулировал 23 важнейшие проблемы, которые во многом определили лицо всей математики ХХ века. И Первой среди этих знаменитых проблем математики он назвал именно Континуум-Гипотезу Георга Кантора. Однако, сам Кантор сформулировал свою Континуум-Гипотезу в 1878 году, т.е. более чем за полвека до появления того, что сегодня принято называть мета-математикой (или "теорией доказательства") и математической логикой. Можно поэтому констатировать,что ни исторически, ни "генетически" Континуум-Гипотеза не может быть рассматриваема как проблема современной мета-математики или современной математической логики. Возникает вопрос: к какой же области науки относится Континуум-Гипотеза? - Изучение истории этой проблемы позволяет с некоторым удивлением констатировать, что Континуум-Гипотеза относится к области обычной элементарной математики и не совсем обычной элементарной же логики.

Конечно, в науке нередко случается так, что новые методы, развитые в какой-либо одной области науки, помогают решить некоторые старые проблемы какой-то другой области науки. Так, например, знаменитые мета-математические достижения К.Геделя (1938) и П.Коэна (1963-1964) помогли доказать независимость обобщенной Континуум-Гипотезы в рамках аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля [1].

Весьма симптоматично, однако, что сам П.Коэн, касаясь вопроса о разрешимости Континуум-Гипотезы средствами современной мета-математики, высказывает весьма пессимистический прогноз [1]: "... Континуум-Гипотеза является весьма драматическим примером того, что (с нашей теперешней точки зрения) можно назвать абсолютно неразрешимым суждением, ..." (стр.13). К тому же, полное отсутствие какого бы то ни было прогресса в доказательстве (или опровержении) Континуум-Гипотезы средствами мощного аппарата современной мета-математики на протяжении последних десятилетий подтверждает обоснованность такого фатального пессимизма П.Коэна.

Таким образом, становится очевидной необходимость новых путей и подходов к решению Проблемы Континуума. Один из таких новых подходов к пониманию Проблемы Континуума, - был предложен нами в работах [2-5]. Этот не-мета-математический и не-математико-логический подход, основанный на так называемой технологии когнитивной семантической визуализации научных абстракций [6-10], позволил доказать, что Проблема Континуума является уникальной ПСЕВДО-Проблемой канторовской (а значит, и любой современной аксиоматической) теории множеств [2-5]. В настоящей работе описаны некоторые новые результаты, касающиеся гносеологического содержания дихотомической концепции "дискретное - непрерывное" и математической природы континуума.

1. КОНИТИВНАЯ СЕМАНТИЧЕСКАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ

ПРОБЛЕМЫ КОНТИНУУМА.

“Transfinite Numbers themselves are, in a certain sense, new irrationalities. Indeed, in my opinion, the method for the definition of finite irrational numbers is quite analogous, I can say, is the same one as my method for introducing transfinite numbers. It can be certainly said: transfinite numbers stand and fall together with finite irrational numbers.”

Georg Cantor.

Рис.1. Когнитивно-визуальный образ Проблемы Континуума:

a) нумерация уровней деревьев T_R и T_L;

b) степени основания 2 двоичной системы счисления;

c) двоичное представление "трансфинитно-бесконечных-в-обе-стороны" гипер-действительных чисел современного нестандартного анализа.

На Рис. 1, с помощью метода когнитивной семантической визуализации математических абстракций [6,7] построен когнитивный образ зеркального, т.е. изоморфного, 1-1-соответствия, скажем Y, между множеством Х всех действительных чисел х отрезка [0,1] и некоторым бесконечным множеством целых чисел Î .

Итак, бесконечный двоичный граф T_R , является моделью множества Х, а его зеркально-симметричный (здесь линия AB есть зеркало) образ - бесконечный двоичный граф T_L - является изоморфной, - в самом строгом математическом смысле, -моделью множества [2].

2. НЕКОТОРЫЕ "ЗЕРКАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ" ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕКОТОРЫХ "ЗЕРКАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ" ТЕОРЕМ.

По-видимому, первое применение "зеркально-симметричной" аргументации в мета-математических доказательствах принадлежит S.Kleene (см. его доказательство теоремы Кантора-Бернштейна в [11], стр. 18 ). Сегодня исследования по применению графической и визуальной симметро-логической аргументации в математических доказательствах проводятся в Visual Inference Lab of the Indiana University by J.Barwise, J. Etchemendy, E.Hammer [12-14]

Используя аналогичные идеи, сводящиеся к адекватной замене формального языка алгебраических изоморфизмов на язык зеркально-симметричных визуальных очевидностей (почти по L.E.J.Brouwer), сформулируем ряд зеркально-симметричных утверждений (теорем), основанных на когнитивно-визуальном образе 1-1-соответствия, Y , между двоичными деревьями T_R and T_L , представленными на Рис. 1 [2].

ТЕОРЕМА 1. ЕСЛИ геометрическая точка x отрезка [0,1] существует как индивидуальный объект, ТО соответсвующий бесконечный путь x дерева T_R достигает w-уровня этого дерева T_R.

СЛЕДСТВИЕ 1. Все бесконечные пути x дерева T_R достигают w-уровня этого дерева.

СЛЕДСТВИЕ 2. Путь x = 0.000...1_w (геометрическая точка в ее обычном смысле) представляет собой наибольшее трансфинитно-малое число (maximal infinitesimal).

ТЕОРЕМА 2. ЕСЛИ бесконечный путь x дерева T_R достигает его w-уровня, ТО соответствующий бесконечный путь дерева T_L тоже достигает w-уровня дерева T_L.

СЛЕДСТВИЕ 1. Все бесконечные пути дерева T_L достигают w-уровня этого дерева.

ТЕОРЕМА 3. ЕСЛИ путь дерева T_L достигает w-уровня ТО трансфинитное целое число является порядковым числом канторовского w-типа.

СЛЕДСТВИЕ 1. Путь = 1_w ... 000 представляет собой наименьшее трансфинитно-большое число, т.е. канторовское порядковое число w, имеющее счетную мощность À_0.

СЛЕДСТВИЕ 2 В силу Y, мощность множества всех ÎT_L равна мощности множества всех xÎT_R , т.е. имеет мощность континуума С.

ТЕОРЕМА 4. ЕСЛИ геометрическая точка x отрезка [0,1] существует как индивидуальный объект, ТО точно в таком же смысле (нас, однако, здесь даже не интересует, в каком именно!) существует канторовское наименьшее трансфинитное число w.

Здесь уместно особо подчеркнуть, что все зеркально-симметричные теоремы являются УСЛОВНЫМИ утверждениями. В частности, мы вовсе не утверждаем, что геометрические точки отрезка существуют как индивидуальные объекты. Но если согласиться с тем, что такие точки существуют именно как индивидуальные объекты, то следует с неизбежностью признать, что в том же точно смысле существуют и трансфинитные целые числа канторовского w-типа. Поэтому все возражения и сомнения, касающиеся свойств дерева T_L (особенно, вопроса о существовании и о довольно необычных свойствах трансфинитных целых чисел Î), автоматически (зеркально) переносятся на обычные свойства дерева T_R , в частности, на вопросы о существовании и свойствах обычных действительных чисел xÎX, или, что то же, обычных геометрических точек отрезка [0,1], т.е. все такие сомнения и возражения следует, в силу 1-1-соответствия Y, адресовать фундаментальным объектам и понятиям классической арифметики и классической геометрии.

В работах [2-5] были доказаны следующие основные результаты.

1. Пусть x Î X является иррациональным числом отрезка [0,1], т.е.

x = 0.a₁ a₂ a₃ ... a_i ... Þ £ 1, где " i [[a_i =0] or [a_i =1]]. (1)

Тогда, в общем случае, этому числу x, в силу Y, соответствует некий новый математический объект ,

, (2)

представляющий собой трансфинитное целое число Î порядкового типа w.

2. Все трансфинитные целые числа Î имеют один и тот же порядковый тип w.

3. Для любых двух действительных чисел x₁ , x₂ Î X,

,

т.е. любые два трансфинитные целые числа ₁ и ₂ являются онтологически различными математическими объектами в том же самом смысле, в каком являются различными два действительных числа x₁ and x₂ в рамках классической математики (см. провидческий эпиграф Г.Кантора к этому параграфу).

4. Любая бесконечная подпоследовательность натурального ряда чисел является индивидуальным математическим объектом - трансфинитным порядковым числом w-типа.

5. Теория множеств Г.Кантора содержательно неполна, поскольку в ней существует единственное трансфинитное целое число w-типа в то время, как множество таких чисел имеет мощность континуума.

6. Проблема Континуума в гильбертовском смысле доказательства/опровержения различных версий континуум-гипотезы представляет собой псевдо-проблему канторовской теории множеств.

3. СУЩЕСТВУЮТ ЛИ "ДЫРКИ" В НЕПРЕРЫВНОМ КОНТИНУУМЕ ?

Рассмотрим теперь когнитивный образ (изоморфную модель) континуума всех действительных чисел отрезка [0,1], представленный на Рис. 2. Здесь любое действительное число (точка) x Î X, представляется (единственным!) бесконечным путем вида:

x = V a₁ a₂ a₃ . . . a_n . . . , где "n [[a_n = 0] or [a_n = 1]],

так что x = £ 1 .

Справедливо и обратное утверждение: любой бесконечный путь на двоичном дереве Рис. 2 определяет единственное действительное число (точку) отрезка [0,1].

ЕГО КОРНИ ВВЕРХУ, ЕГО ВЕТВИ ВНИЗУ

- ТАКОВО ЭТО ДРЕВНЕЕ ФИГОВОЕ ДЕРЕВО.

ОНО ЕСТЬ ИСТИНА, ОНО ЕСТЬ БРАХМАН...

ВСЕ МИРЫ ЗИЖДУТСЯ НА НЕМ...

[Познание Брахмана. Katha-Upanishada, II, 3]

Рис.2. Когнитивно-визуальная модель множества X всех действительных чисел (точек) отрезка [0,1].

Поскольку наша Конференция называется "Языки науки - языки искусства", хочется подчеркнуть удивительную семантическую "корреляцию" между математическим языком современной теории графов и языком древне-индийского религиозно-философского эпоса, представленную на рис. 2.

Как известно, Брахман - одно из центральных понятий индийской философии и религии индуизма, космическое духовное начало, безличный абсолют, лежащий в основе всего сущего.

С другой стороны, отрезок [0,1] - модель наиболее важной концепции всей науки - идеи непрерывности. В конечном счете, все процессы, протекающие в Природе, характеризуются действительными числами, т.е. элементами отрезка [0,1]. Граф, изображенный на Рис. 2, называется в современной математической теории графов ДЕРЕВОМ, а его вершина V - называется КОРНЕМ этого дерева.

Казалось бы, индуистский Брахманизм (3000-5000 до н.э.) и математическая теория графов (начало ХХ века) не могут иметь между собой ничего общего. С обыденной точки зрения. Однако, даже чисто терминологическое совпадение описаний основных атрибутов Брахмана как фигового ДЕРЕВА, у которого КОРНИ ВВЕРХУ И ВЕТВИ ВНИЗУ …, и графической модели основного поняти науки - концепции непрерывности (где непрерывность - там и дикретность) в форме двоичного ДЕРЕВА, у которого КОРЕНЬ ВВЕРХУ, а ВЕТВИ (ПУТИ) УХОДЯТ ВНИЗ . . . - способны пробудить интуитивно-эстетические ассоциации весьма глубокого гносеологического значения.

Докажем теперь ряд простых утверждений о существовании и свойствах "дырок" в непрерывном континууме.

В мета-математических доказательствах несчетности континуума всех действительных чисел отрезка [0,1] очень большое внимание уделяется "строгости рассуждений". Так, например, С.Клини исключает якобы неоднозначность представления рациональных чисел с помощью СОГЛАШЕНИЯ о том, что две РАЗЛИЧНЫЕ двоично-рациональные записи

0.0111 . . . и 0.1000 . . . (3)

представляют одно и то же рациональное число (как будто устранение или неустранение счетного подмножества может повлиять на мощность несчетного, - и тем более континуального, - множества!?).

С другой стороны, Рис. 2 показывает, что два пути, соответствующие двум различным записям (3) суть онтологически различные математические объекты, отождествление которых означает, что эти два различные пути определяют на w-уровне одну и ту же рациональную точку или, что то же, имеют на w-уровне общую точку, что противоречит самому определению понятия "дерева" теории графов как графа, не имеющего циклов. Таким образом, мета-математическое СОГЛАШЕНИЕ об эквивалентности записей (3) является произвольным с точки зрения математики и просто некорректными с точки зрения логики. Более того, непосредственно на Рис. 2 видно, что два бесконечных пути вида (3) определяют две РАЗЛИЧНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ (ЧИСЛА) на w-уровне, между которыми не существует других бесконечных путей (точек, вещественных чисел) отрезка [0,1].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Два бесконечных рациональных пути вида (3) на бесконечном дереве Рис. 2, между которыми не существует других бесконечных путей, определяют "дырку" на отрезке [0,1], или, другими словами, два рациональных числа r₁ и r₂ , которым соответствуют бесконечные пути вида (3), определяют дырку в континууме

[0,1]. Очевидно, что расстояние между такими рациональными числами r₁ и r₂ равно lim{2^-n}, т.е. стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

В таком случае справедливы следующие утверждения.

ТЕОРЕМА 5. Любое действительное число x Î [0,1] такое, что 0 < x <>

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

0.a₁ a₂ . . . a_k, . . . (4)

бесконечный двоичный путь, соответствующий числу x. Фиксируем произвольное целое число k ³ 1, и рассмотрим начальный отрезок

0.a₁ a₂ . . . a_k,

пути (4). В таком случае, два рациональных пути

0.a₁ a₂ . . . a_k, 1 0 0 0 . . .

и

0.a₁ a₂ . . . a_k, 0 1 1 1 . . .

определяют "дырку" на отрезке [0,1].

СЛЕДСТВИЕ 1. Мощность множества, скажем G, всех дырок (gaps) на отрезке [0,1] не меньше мощности множества C всех бесконечных путей на дереве T_R, т.е. имеет мощность, не меньшую, чем мощность множества всей действительных чисел отрезка [0,1], т.е. |G| ³ C.

ТЕОРЕМА 6. Между любыми двумя действительными (в частности, рациональными) числами x₁, x₂ Î [0,1] такими, что |x₁-x₂| ¹ 0, содержится хотя бы одна "дырка".

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

0.a₁ a₂ . . . a_k,

общая часть двоичных путей действительных чисел x₁, x₂ Î [0,1]. Тогда бесконечные рациональные пути

0.a₁ a₂ . . . a_k, 1 0 0 0 . . .

и

0.a₁ a₂ . . . a_k, 0 1 1 1 . . .

определяют "дырку" между любыми двумя действительными числами x₁ и x₂ отрезка [0,1].

СЛЕДСТВИЕ 1. Множество "дырок" на отрезке [0,1] является всюду плотным.

4. ТРАНСЛЯЦИОННАЯ ФРАКТАЛЬНОСТЬ КОНТИНУУМА.

Как известно, фракталом называется геометрический объект, любая часть которого самоподобна исходному объекту. При этом такого рода самоподобие определено относительно операции масштабирования.

Как нетрудно видеть, каждая вершина двоичного дерева на Рис. 2 является корнем нового дерева, абсолютно геометрически подобного (тождественного) исходному дереву. Поэтому любой бесконечный путь, выходящий из корня V можно рассматри-

вать как процесс трансляции (переноса) реплики (т.е. экземпляра) исходного дерева в каждую вершину каждого пути, а само исходное дерево - как геометрический объект, обладающий трансляционной фрактальностью, т.е. как фрактал, на котором самоподобие определено относительно операции трансляции.

Отсюда, в частности, следует, что канторовская идея актуализации бесконечного ряда натуральных чисел 1,2,3, . . . представляется весьма сомнительной даже на интуитивном уровне, поскольку трудно вообразить себе актуальным, т.е. завершенным, процесс, любой, сколь угодно "далекий" n-тый шаг которого является всего лишь НАЧАЛОМ ИСХОДНОГО процесса в форме n+{1, 2, 3, . . . }, или, что то же, простой трансляцией (переносом) начала исходного бесконечного процесса в очередную текущую n-тую точку его потециально-бесконечной "реализации".

5. КОГНИТИВНАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ МОНАДОЛОГИИ ГОТФРИДА ВИЛЬГЕЛЬМА ЛЕЙБНИЦА.

Когнитивно-визуальная интерпретация Монадологии Г.В.Лейбница естественна и почти очевидна (см. Рис. 2): каждая вершина дерева, т.е. Простая Монада в смысле Лейбница, является корнем такого же дерева, ("растущего" вниз), т.е. порождает исходный Универсум в смысле Лейбница. Можно сказать, что онтологическая связь между любой вершиной дерева и исходным деревом имеет ту же семантику, что и связь между Монадой и Универсуумом Г.В.Лейбница.

Теперь посмотрите, пожалуйста, очень внимательно на рис. 2. И каждый, кто обладает визуальным мышлением и творческой интуицией (VISUAL THINKING MIND'S EYE) УВИДИТ и УСЛЫШИТ многие из тех великих МЫСЛЕЙ, которые много лет тому назад были высказаны [15] Великим Философом и Математиком,

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ:

53. Now, as in the Ideas of God there is an infinite number of possible universes, and as only one of them can be actual, there must be a sufficient reason for the choice of God, which leads Him to decide upon one rather than another. (Theod. 8, 10, 44, 173, 196 sqq., 225, 414-416.)

56. Now this connexion or adaptation of all created things to each and of each to all, means that each simple substance has relations which express all the others, and, consequently, that it is a perpetual living mirror of the universe. (Theod. 130, 360.)

57. And as the same town, looked at from various sides, appears quite different and becomes as it were numerous in aspects [perspectivement]; even so, as a result of the infinite number of simple substances, it is as if there were so many different universes, which, nevertheless are nothing but aspects [perspectives] of a single universe, according to the special point of view of each Monad. (Theod. 147.)

58. And by this means there is obtained as great variety as possible, along with the greatest possible order; that is to say, it is the way to get as much perfection as possible. (Theod. 120, 124, 241 sqq., 214, 243, 275.)

62. Thus, although each created Monad represents the whole universe, it represents more distinctly the body which specially pertains to it, and of which it is the entelechy; and as this body expresses the whole universe through the connexion of all matter in the plenum, the soul also represents the whole universe in representing this body, which belongs to it in a special way. (Theod. 400.)

63. . . . every Monad is, in its own way, a mirror of the universe, and as the universe is ruled according to a perfect order, there must also be order in that which represents it, i.e. in the perceptions of the soul, and consequently there must be order in the body, through which the

universe is represented in the soul. (Theod. 403.)

Acknowledgements. - The author wish to thank the International Science Foundation of G.Soros (Grant No. ZZ5000/114, 1995), the Russian Humanitarian Scientific Foundation (Grant No. 98-03-04348), the Russian Foundation for Basic Researches (Grant No. 98-01-00339) and Ministry of Science and Technologies of Russian (Grants No. 05.04.1179, No. 05.04.1221, 1996-1997) for the financial support of this work. Also, the author wish to thank his permanent co-author and collaborator, system programmer, Anton Zenkin,

6. Л И Т Е Р А Т У Р А

1.Cohen, Paul J. Set Theory and the Continuum Hypothesis. - Moscow : MIR, 1969.

2. A.A.Zenkin, "Cognitive Semantic Visualization Of The Continuum Problem And Mirror Symmetric Proofs In The Transfinite Numbers Theory". - The e-Journal "VISUAL MATHEMATICS", vol.1, issue 2 (1999) at the WEB-Site:

http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/zen/index.html or

http://members.tripod.com/vismath1/zen/index.html

3. Alexander A.Zenkin, Anton A.Zenkin, "ARTISTIC p-NUMBER GALLERY": COGNITIVE VISUALIZATION OF p-TRANSCENDENCY" at the WEB-Site:

http://www.com2com.ru/alexzen/galery/Galery.html

4. Zenkin A.A., Cognitive Visualization Of The Continuum Problem And Mirror Symmetric Proofs In Transfinite Numbers Mathematics. - ISIS-Symmetry Congress and Exhibitio. Abstracts, pp. 156. Haifa, Israel, 13-19 September, 1998.

5. Zenkin A.A. Cognitive Visualization of the Continuum Problem and of the Hyper-Real Numbers Theory. - International Conference "Analyse et Logique", UMH, Mons, Belgia, 25-29 August, 1997. Abstarcts, pp. 93-94 (1997).

6. Zenkin A.A., Cognitive computer graphics. - Moscow : "Nauka",1991.

7. A.A.Zenkin's WEB-Hompage (new): http://www.com2com.ru/alexzen

8. Zenkin A.A., Waring's problem from the standpoint of the cognitive interactive computer graphics. - "Mathematical and Computer Modelling", Vol.13, No. 11, pp. 9 - 37, 1990.

9. Zenkin A.A., Superinduction: A New Method For Proving General Mathematical Statements With A Computer. - Doklady Mathematics, Vol.55, No.3, pp. 410-413 (1997). Translated from Doklady Alademii Nauk, Vol 354, No. 5, 1997, pp. 587 - 589.

10. Zenkin A.A., Generalized Waring's Problem: G(m,r)£ G(0,r) +m+1 for any m ³ 1, r ³ 3. - Doklady Mathematics, vol 56, No. 1, pp. 499-501 (1997). Translated from Doklady Alademii Nauk, Vol 355, No. 2, 1997, pp. 151 - 153.

11. S.C.Kleene, Introduction to Metamathematics. - D.Van Nostrand Company, Inc., N.Y. - Toronto, 1952.

12. Barwise, Jon, and Etchemendy John, Hyperproof, Stanford: CSLI, and Cambridge: Cambridge University Press, 1994.

13. Hammer, Eric, Logic and Visual Information, in Studies in Logic, Language, and Computation, Stanford: CSLI and FoLLI, 1995.

14. Hammer, Eric M. Symmetry as a method of proof. J. Philos. Logic, v.25 (1996), no.5, 523-543.

15. LEIBNIZ G.W., Monadology, 1898; THE MONADOLOGY by Gottfried Wilhelm Leibniz translated by Robert Latta:

http://english-www.hss.cmu.edu/philosophy/leibniz-monadology.txt