blog.ddtor.com: января 2007

цикл континуума (дерево - лес - экосистема)
цикл реальности (нелинейная геометрия - законы физики - антропный принцип)
цикл познания (самосознание - доказательство аксиом - парадоксальная норма)

Ю.М.
четверг, 25 января, 2007

Любопытный блог :-)

http://multicriterion.tripod.com/fun.htm

==========

Fractal

Просто и сермяжно о науке для математиков

Всем привет!
Разумеется, ни один нормальный человек не может интересоватся всем одновременно и сразу. Мои нынешние интересы могут показаться разбрасыванием, но на самом деле они растут как ноги и уши от одного зубного корня – опыта работы с нейросетями для аппроксимации многомерных сложных зависимостей. Как известно, идеальных решений в этой области не бывает, но когда надо решать какую-то конкретную задачу и время торопит, волей неволей забираешься в дебри теории, ищешь обходные пути и варианты и наталкиваешься на странные параллели от которых дух захватывает. Ну, думал ли я когда-нибудь, что задумаюсь о судьбах динозавров и жизни на краю хаоса?
В этой жизни всё очень плотно связано. Достаточно просто чем-то прикладным заняться и быстро начинаешь видеть, что круг методов по сути один и тот же. Ну вот, к примеру, приходилось заниматься распознаванием образов, оптимизацией и прогнозированием. Использовал разные методы и общепринятые и собственные. Сейчас поумнел и вижу, что для этих таких разнородных задач методы решения схожи – они идут из жизни. Ведь каждый день мы сталкиваемся с распознаванием ситуаций, попытками оптимальным образом распорядиться в распознанной ситуации, да еще предвидеть близкие и отдаленные последствия. Постоянное принятие решений в условиях неопределенности и риска создало человека, да и вообще живое как совершенные математические машины. Глядя в далекое прошлое на находки, которые методом бесконечных проб и ошибок нашла жизнь, можно увидеть очертания грядущих знаний.
Ну вот как вам к примеру идея о том, что жизнь преимущественно цветет на краю хаоса, в условиях нестабильности и лишений. И имеет очень реальные шансы загнуться при наступлении спокойствия и благополучия. Такое уже было не раз – 3, 65, 250, 370 млн лет назад. Похоже, что динозавры вымерли не напрямую от отравления иридием или огромной волны в результате падения 65 млн. лет назад на Юкатане огромного метеорита. Это произошло еще через сотни тысяч лет, когда всё казалось бы должно было успокоиться. Есть в этом какая-то загадка. Которая запросто может оказаться имеет отношение к нам современным. Ведь мы ратуем за равенство,за стабильность, предсказуемость, за то, чтобы все были сыты и обуты, согреты и образованы. Это ведь так естественно! Но это и опасно. Недаром Стивен Хокинг недавно высказал мысль о неизбежности освоения космоса. Нет, не оттого, что это очень интересно. Просто иначе вымрем, лишив себя реальных проблем – так этот мир устроен.

Роль личности в истории. Ах, какие помню споры были и как нам марксисты-ленинисты доказывали одно, а другие другое, но прямо противоположное. Теперь представьте себе модель, по которой социум движим неким критерием по пути к оптимуму cовершенства. Или скажем комфортности. Это как ручеек, стекающий с горы – чем ниже тем комфортнее. Те кто в середине струи движутся спокойно и размеренно, те кто на краю бьются и разбрызгиваются о камни, виляют по неровностям. Это время когда социум точно знает куда идти.
Потом встречается небольшое углубление и спокойные решают, что это их гавань. Но народу прибывает, всем места не хватает и надо дальше куда-то течь. Но куда? Время разброда и шатания, время революционеров, горлопанов, пророков и провидцев. И в конце-концов переполнившаяся чаша проливается потоками в разные стороны. Образуются новые партии, нации, народы, виды и подвиды. А всего-то локальный минимум.
А потом поток напарывается на седловую точку – это когда как и в локальном минимуме все частные производные обращаются в нуль, но сигнатура квадратичной формы неэллиптическая. Т.е. не все только минусы или плюсы, а и вразброд. Слегка задержавшись на хребте, народ поволнуется куда идти. Но крайние рванут в разные стороны куда им ближе и только самые средние долго будут еще сомневаться, пока все не разбегутся, не разбредутся. Вот и опять история «единого народа» разделилась. Опять критическая точка. А мало ли их по жизни?
Так и с личностями - их никто не слушает и никому они не нужны пока поток течет быстро и могуче по градиенту, матрица гессиана положительно определена и собственные вектора что надо!
И наоборот, в критических точках, когда градиент вырожден, принятие дальновидного решения очень важно. Идти-то почти всё-равно куда, то ли за белыми, то ли за красными... но всё-равно пожалеешь.
Это я вам описал как решается оптимизационная задача – поиск ближайшего минимума, выход из него, переходы через седла, конечный поиск глобального и вечные сомнения, что могло бы быть и лучше.
И где-то наверное так оно и есть.

Нейронные сети

Вы в курсе что такое нейронные сети НС? Бьюсь об заклад, что большинство не знает и знать не желает. Сам был такой. Я до совсем недавнего времени был совсем ка и вы не в курсе. Казалось, что это что-то неподъемно сложное, топ науки. Не для простого ума. Но оказалось, что всё дело в шариках, которые любят рисовать, когда рассказывают про то как устроен искусственный нейрон или Перцептрон Розенблатта и как из них строятся сети Хопфилда, Кохонена и пр. Наши мозги устроены не в пример проще, сермяжнее и лучше реагируют на формулу или теорему чем на такие красоты.
Так вот, суть нейронных сетей в теореме Колмогорова-Арнольда, которая утверждает, что любая непрерывная на компакте функция может быть разложена в конечную суперпозицию каких-то заранее известных многомерных функций «фи». Т.е. из многомерной получается одномерная.
Сначала это кажется какой-то ерундой. Но представьте, что эти «фи» всего-навсего линейные функции, заданные на небольших прямоугольных(параллелепипедных) областях. Они стандартны и невыразительны. А дальше мы начинаем их по всякому изгибать, чтобы они получше подходили к искомой зависимости... . Ну, в общем такой финт, больше зависящий от времени работы изгибальщика-примеряльщика, чем от чего-либе другого, т.е. одномерный. Изгибания – это уже одномерная функция «пси», в принципе даже от самих координат не зависящая. Кому интересно в подробностях, могу ссылочку кинуть.
Так вот, теперь представьте, что вы вместо «фи» подставили «искусственные нейроны», на самом деле банальную свертку входного вектора с ковектором весов-параметров. Кстати, и не просто свёртку – там еще смещение d присутствует. Как ни крути, а это просто локальное разложение в ряд Тейлора, которое мы проходили на первом курсе.
А в качестве «пси» что?
Тут не сразу без серьёзного бутыля доходит: в «пси» вошли структура-топология сети – взаимное расположение нейронов и их связей, вид выходного сигмоида – нелинейная функция, зависящая от результата свёртки и... коэффициенты свёртки-веса. Я бы сказал, что интерпретация этой замечательной теоремы в НС довольно вольная, но дело в том, что создатели сетей теорем не читали, а как-то сами догадались.
Наверное трудно сообразить как такая сеть может что-то аппроксимировать? Тут хитрость в том, что свёртки линейны, а сигмоиды создают всевозможные искривления, которые можно подладить под нужную зависимость правильным подбором параметров, которыми являются веса нейронов. О том, что это можно сделать как раз теорема Колмогорова-Арнольда и позаботилась.
Теперь осталось выяснить как получить правильные веса.
Для этого существуют алгоритмы обучения сети на некоторой входной последовательности с известным y=f(V) и V - входным вектором. Так вот, оказывается, для просто нейрона итерационный процесс тренинга выглядит так
W_k+1=W_k+a*V,
где W_k – весовой вектор, a – малый параметр со знаком разности значения y из обучающей последовательности и вычисленного значения на данном этапе итерации. Для всей сети чуть сложнее, и называется мудрёнее «backpropagation», но суть та же.
Вот так просто и это чудо еще и сходится!
Эта магия не может не очаровать неофита в науке и в математике любителя. Не любители конечно же сразу раскусили, что тут не обошлось без метода скорейшего спуска и что всё это в оптимизации давно есть и любому дураку ясно.
Но как изящно! Так совместить давно известное в совершенно новое!
Скрестить ужа и ежа и при этом получить два метра колючей проволоки!

Наверно бывалые люди вспомнят, что аппроксимировать и полиномами можно, и рядами Фурье и вообще любыми ортогональными многочленами, хоть того же Пафнутия Львовича, которым нас Иван Петрович Мысовских так стращал. Но есть ма-ахонькая разница – усложнение полиномов ведет к «проклятию размерности», когда появляется ненужная рябь и хвосты устремяются в бесконечность просто неудержимо. В нейронных сетях если не хватает точности, просто добавляют нейронных мощностей, которые на такой случай всегда под боком. И всё тихо и гладко и думать ни о чем не надо. Написанная выше формула и есть самая высшая математика всей теории НС, достаточная для получения впечатляющих результатов.
Оттого-то так технарям она и по сердцу.
Больше... .

Фракталы, пыль Кантора, континуум гипотеза, голография, хаос
и бессмертная душа.

Люди не толкущиеся в области перечисленных проблем, а таковыми являются большинство из заносчивых математиков, скорее всего подумают, что это просто несвязанный между собою компот из модных слов.

Мандельброт

Танцующий кролик

Пыль Кантора, Julia

Существуют многочисленные определения перечисленных понятий, в том числе и «на пальцах», т.е. для кухарок. Но не для математиков, для которых бытовая элементарщина порой доходит лишь на седьмые сутки.
Начнем с фрактала Мандельброта. Это всего лишь умело раскрашенные точки схождения итерационного процесса на комплексной плоскости, описываемого формулой Z_k+1 = (Z_k)²+С. Аналогичный красивый фрактал дает итерационный процесс Ньютона X_k+1 = X_k-f/f’.
Т.е. какая-то поганая коротенькая формула выдает на гора красочный бесконечно сложный и неповторяющийся мир фрактала. Как он умещается в этой формуле?
Еще вспомнили, что аналоги были и раньше – «пыль Кантора», «чертова лестница», «ковер Серпинского», «линия Пеано». Вспомнили про чудеса с размерностью, которая для перечисленных объектов порой принимает дробные величины: 1.63, к примеру, для ковра. И снова итерации и опять что-то бесконечно усложняющееся, завинчивающееся и падающее неудержимо вниз, внутрь при крайне примитивном описании итерационного процесса.
А еще вспомнили третью фрактальную версию – как поточнее посчитать длину границы бывшего СССР? Ведь задача была серьёзная, длиной гордились и хотели иметь её побольше. И оказалось, что чем точнее её меришь, тем длиннее она становится. В пределе устремляясь к бесконечности.
Что-то типа неопределенности Гейзенберга или линии Пеано, но в масштабах СССР и на радость Политбюро. Ну чем вам не фрактал?
И ведь еще дотошные обнаружили, что при "полете внутрь" фрактальной структуры наблюдается некоторая повторяемость, но не полная, а в виде неявной похожести. Тут же посмотрели на небо, где наподобие солнечной системы вокруг центров галактик кружат светила, сами галактики кружат вокруг центров метагалактик... вглубь посмотрели и узрели, что атом со своими электронами ну очень похож на солнечную систему. А вдруг как там так же стоят на поверхности электрона и задрав микроголовы смотрят на тарелку галактики, которая является всего лишь тарелкой на нашем столе?
Ну и естесственно мысль не дает покоя – если строение Вселенной фрактальное, то оно должно продолжаться бесконечно вглубь, периодически повторяясь в виде всё более и более мелких солнечных систем.

А душа, душа человеческая какое отношение к эти премудростям имеет? Ну не всё сразу – душа материя тонкая, животрепещущая. С ней поаккуратней надо. Поговорим лучше о Хаосе.
Хаос - это явление трудноопределяемое и почти мистическое. Мы знакомы с ним по хаосу в доме или в голове после очередного вала информации, особенно после доброго отдыха. Мы отождествляем хаос с газом и броуновским движением, датчиком случайных чисел и гауссовым, пуассоновским или логнормальным распределениями. А то и с распределением вейбуловским, которое всех нас потихоньку с этого света на тот перетаскивает.
Но интересно, как можно назвать хаосом процесс, строго и неукоснительно подчиняющийся кривой распределения? Что за хаос в газе, когда он состоит из бесконечно повторяющихся идентичных частиц и каждая в принципе ведет себя совершенно предсказуемо, да и газ в целом ведет себя предсказуемо? Дело в предсказуемости: если мы не можем предсказывать на каком-то уровне детализации, то объявляем явление хаосом. Соответственно, должны принимать решения – локальные или глобальные, напрочь минуя промежуточные, заменяя их подбрасыванием монетки – орел, решка.
Вообще понятие хаоса во многом эквивалентно принятому у нас «поведение сложных систем», но что-то есть новое. В частности, в части скачкообразных переходов между разными структурными уровнями, на которых предсказания еще возможны. Это как мелкие предсказуемые объекты соединяясь образуют хаотическую бестолковую толпу. Затем, когда эта толпа укрупнившись становится действительно «толпой», она снова понятна и предсказуема – она уже новый объект и для неё-толпы правила писаны.
Обратите внимание – опять фрактальная структура переходов к новым объектам через изменение размеров наблюдателя или, скажем так, от грубости или тонкости его наблюдательной активности.
А душа?
Ах, да, душа..., да что душа? Поживём – увидим. Вы вот подумайте лучше о загадочной схожести электронов. Ведь их неисчислимые мириады и все они абсолютно одинаковы, различаясь лишь конечным набором – координатами в пространстве, энергией, должно быть еще положением в атоме, чем-то наверное еще. И вот это «еще» вкупе с неопределенностью Гейзенберга смущает – мы не можем указать одновременно точных координат и энергии-импульса электрона. Как тогда доказать, что два из них идентичны? Как поставить их в совершенно одинаковые условия, чтобы гипотезу проверить? Ну ладно, что их нельзя поставить в одно время в одну пространственную точку. Так ведь еще и эту точку не локализировать с достаточной точностью!
Т.е. все они разные, но всегда чем-то индивидуальны.
Наверное это как с солдатами в строю – как ни пытаются бравые командиры добиться кристаллорешетчатой неразличимости зеленых фигур, они всё-равно чем-то всегда различны. И каждый продолжает нести внутри свой индивидуальный мир – душу.
А нужна ли она, душа?
Вот тут и вспомним, кстати, про голографию. Но о ней вы уж точно читали.

Канторовы множества и прочее.

Я не думаю, что многие из вас помнят или даже слышали про теорему Левенгейма-Сколема. Впрочем, сейчас в Интернете всё с легкостью найти можно и никакие университеты и их препы не нужны. Всё просто так в уши влезает, были бы уши. Что бы не заставлять занятых людей шарить по Сети, я вам лучше процитирую. На пальцах:

“Ни одна точка зрения, которая фиксирует только истинностные значения целостных предложений, не может фиксировать референтов, даже если она определяет истинностные значения предложений в любом возможном мире”. Это теорема Патнэма (стр. 33), которую мы постараемся объяснить. Выразим ее в терминах кошек и вишен. Всякий раз, когда вы говорите о вишнях, вы можете иметь референтом то, что я называю кошками, и наоборот. Если бы я со всей серьезностью собирался сказать, что кошка – на коврике, вы бы согласились, поскольку считали бы, что я говорю о том, что вишня – на дереве. Мы можем достичь полного согласия относительно фактов мира, то есть о предложениях, которые мы считаем истинными, и все же, тот факт, что когда я говорю о кошках, вы говорите о том, что я называю вишнями, может так никогда и не выплыть наружу. Более того, ваша система референции может так систематически отличаться от моей, что различие между нами может и не проявиться, независимо от того, какие истины относительно кошек и вишен имеют место.
Это удивительное заключение следует из хорошо известного результата в математической логике, называемого теоремой Левенгейма-Сколема. Основная ее мысль основана на результате работы Левенгейма 1915 года и разработана Ф. Сколемом в 1920 году. В то время казалось возможным охарактеризовать математические объекты, такие как множества, с помощью системы аксиом. Предполагаемый объект, такой как множество, был бы ничем иным, как тем, что удовлетворяет некоторым аксиомам, и таким образом аксиомы определяли бы класс предполагаемых объектов. Более того, это надеялись сделать в единственно хорошо понимаемой области логики, называемой логикой первого порядка, использующей логические связки (“и”, “не”, “или” и т. д.) и кванторы первого порядка (“для любого”, “существует”).
В те времена логики думали, что некое подобие теории множеств могло бы служить основой многих или даже всех ветвей математики. Георг Кантор доказал знаменитый результат. Вначале он прояснил идею того, что некоторые бесконечные множества могут быть больше, чем другие. Затем он показал, что множество подмножеств натуральных чисел больше, чем множество натуральных чисел. Другими словами, он показал, что множество всех действительных чисел, то есть чисел, выразимых в виде (бесконечных) десятичных дробей, больше, чем множество натуральных чисел.
Когда этот факт был переварен и усвоен классическими логиками, Левенгейм и Сколем доказали нечто, что на первый взгляд казалось парадоксальным.
Вы выписываете некоторые постулаты, которые, как вы надеетесь, выражают саму суть множеств, построенных из множеств натуральных чисел. В рамках этих постулатов вы доказываете теорему Кантора, которая говорит, что множество подмножеств натуральных чисел не перечислимо, то есть не может быть поставлено во взаимнооднозначное соответствие с натуральными числами, и таким образом, больше, чем само множество натуральных чисел. Пока все понятно. Чтобы ваши постулаты поняли так, как вы хотите, вы говорите о множествах Кантора. Однако Левенгейм и Сколем доказали, что любая теория, выраженная в логике первого порядка и истинная для некоторой области объектов, также справедлива и для некой перечислимой области. Итак, вы предполагали, что ваши постулаты будут истинны относительно канторовских множеств. Теорема Кантора тут же убеждает нас, что канторовских множеств больше, чем натуральных чисел. Но те же самые постулаты могут быть проинтерпретированы таким образом, что они будут истины для гораздо меньшей области. Предположим, что Р – знак, который в вашей теории означает множество всех подмножеств множества натуральных чисел. Оно больше, чем множество натуральных чисел. Но ваша теория может быть переинтерпретирована так, что Р обозначает нечто весьма отличное, а именно множество, не большее чем множество натуральных чисел.
Одно время теорема Левенгейма-Сколема казалась парадоксальной, но теперь к ней привыкли. Многие люди, изучающие логику, считают ее довольно очевидной, естественной и неизбежной. Они говорят нечто вроде следующего: “для первопорядковой теории должны существовать нестандартные модели”.

А почему бы нас не просветить нашему самому главному и самому уважаемому логику, тулузскому профессору Сергею Соловьёву?

Распознавание образов

Распознавание образов РО – одна из очень популярных тем для прикладной математики. Ею занимаются все кому не лень, но в последнее время она считается едва ли не основной составляющей искусственного интеллекта ИИ. Как будто в распознавании вся суть интеллекта. Разумеется это не так – есть еще и ответные действия, есть предвидение реакции на свои действия, есть еще что-то. Но очень важно, что такая внешне простая и очень прикладная задача признана за часть интеллекта. Ведь сам по себе ИИ всё еще неразрешим, значит и с РО не всё так просто как кажется на первый взгляд.
Я с ней впервые столкнулся в незапамятные желторотые времена, когда заказчик попросил меня создать быстроработающий алгоритм распознавания. Причем меня поразило отсутствие постановки задачи – что распознать, насколько надежно, что такое вообще распознать? Как-то для заказчика само собой подразумевалось, что и так всё понятно. Позже я не раз с этим феноменом сталкивался и каждый раз испытывал некоторое чувство бессилия, даже не оттого, что не решить, а оттого, что люди не понимают чего хотят. Читал всевозможные статьи по этой теме, их пишут как правило люди далёкие от математики, хотя ловко оперирующие громоздкими формулами. Формул много, алгоритмов много, жизнь кипит, контора пишет, остановиться, подумать некогда.
Представьте, что Вы смотрите на картину Пикассо и видите портрет Руссо. Желая рассмотреть поближе обнаруживаете, что это что-то другое, но поначалу не понять. Приближаетесь еще и видите, что это две монахини, арки какого-то строения и прочие детали, издали все вместе образующие вид человечьей головы.
Приближаемся еще больше и образ снова смазывается, разбиваясь на отдельные мазки кисти, еще ближе и видна структура холста, еще... . Там не один, там много образов. Если не задаваться глупыми вопросами и предполагать изначально, что вы с заказчиком мыслите по единому стандарту, то вы быстро распознаете то, что ему нужно и оба будете довольны друг другом.. Но в общем случае это не так тривиально и радужно.
Далее...

Fuzzy Logic

Это в переводе на русский – нечёткая логика. Немного странный термин и не очень понятно зачем может понадобиться нечеткость, когда все можно решить четко и внятно как на строевом плацу – ать, два? Однако же я с этой штукой столкнулся нос к носу, когда её еще и в помине не было. Т.е. нечеткой логики еще не было, а проблемы уже были. Занимался я обратными задачами матфизики в приложении к практике, и очень нужно было вместе с основным решением получить оценки погрешностей, а еще лучше получить распределение вероятностей, а еще..., в общем разгубастился, но на кафедре теории вероятностей меня быстро остудили – большинство таких задач, увы, современной науке не под силу. Посоветовали что-то типа метода статиспытаний, а так выкручивайся как умеешь. И призадумался и подумал как Манилов: а почему бы на сделать такую арифметику, что вместе с обычными вычислениями одновременно вычислялись бы погрешности или распределения ошибок? Помучился, помаялся и бросил. А другие не бросили и создали Fuzzy Logic и стали знаменитыми. Боско, Заде, слышали? Нет, не слышали – не удивительно. Там, за печкою... .
Основная идея – распределения и операции с ними упрощаются до разумного предела, когда еще смысл действий не совсем теряется, но тащить вычисления без умопомрачительного усложнения на каждом шаге уже можно. Каждая величина вводится как значение и нечеткость – плотность вероятности, линейно спадающая в обе стороны. Обычно в этом случае рисуется плотность нормального распределения Гаусса – куполообразная функция, а здесь она по сути приближается треугольником или трапецией с матожиданием и дисперсией, свойственным обычной случайной величине.
А дальше-больше – сумма этих случайных величин определяется как объединение плотностей распределений! Это конечно же лажа и любой знающий начнет тут же кипеть благородным возмущением и тыкать в учебник пальцем. Да-с, действие, скажем так, нечеткое, однако оно достаточно примитивное, ничего не портит, но суммарная величина получает тоже какое-то распределение, не очень похожее на правильное, но всё же. И вот что любопытно: чем дальше вычисляем, тем эта похожесть как была «на уровне», так ею и остаётся. Т.е. конечное вычисленное и правильное распределения примерно соотносятся так же как первичные гауссоида с аппроксимирующей её трапецией – мы получем похожее на правду распределение сложной случайной величины, вместо того, что бы страдать всей кафедрой теории вероятности от осознания печального факта, что этого никак сделать низ-зя!
Ну а теперь почитаем, что пишут на эту тему другие люди.
Далее... .

Multi-criterion Tasks

Многокритериальные задачи – это формализация старого детского стишка:
Крошка сын пришел к отцу
И спросила кроха:
Что такое хорошо
И что такое плохо?
Т.е. за мудреным названием скрывается старая проблема – понять делать или не делать, казнить или миловать, ехать-не ехать? Это называется «принятием решений в условиях неопределенности и риска» и это целая наука. Решение в конечном итоге всё-таки кто-то принимает и такая важная персона назвается ЛПР – «лицо, принимающее решение». Но проблема в том, что часто ЛПР не очень желают нести ответственность за принятые решения и предпочитают переложить часть ответственности на мелких сошек-стрелочников, которыми в данном случае выступают бедные едва оперившиеся прикладные математики. ЛПР требует на основе собранной информации дать ему взвешенное мнение, дабы освободить себя от груза личной и ненужной ответственности.
Как это делается? В теории, вызываются советники-эксперты, они изучают тему и выкладывают каждый своё мнение. Т.е. один говорит «надо, потому,что...».
Другой выходит следом и говорит «не надо, потому, что...». Сплошное расстройство - и у того и у другого доводы разумные, но решение должно быть какое-то одно. Как свести их воедино? Это ведь тоже для ЛПР проблема – примешь сторону одной команды, скажут, что подыгрывает, примешь другую - подумают, что подкуплен. Т.е. надо еще других специалистов звать, которые будут мнения предыдущих экспертов соединять в единую рекомендацию и что бы никому не обидно было, а ответственность за ответственное решение на себя взяла программа, алгоритм и, в конечном итоге, математика и математики, которые ни уха ни рыла в том о чем, собственно, речь. А можно вообще подальше экспертов отодвинуть и головы их не загружать, спрашивать что-то совсем простое и в результате выдавать «взвешенное» решение? В принципе, можно. Но, как показала практика, тогда головы уже начинают болеть у математиков – как вытащить из экспертов то, что нужно и что вообще нужно и что с этим добром потом делать?
Предположим, что у нас есть входная информация о теме, по которой надо принять решение. Ну, например, отбор пионеров в престижный пионерлагерь типа Артек. Присылают пионеры заполненные по единой форме анкеты, а серьёзные дяди читают и выставляют какие-то оценки, оценки суммируются и набравшие высшие баллы имеют шанс поехать. Описанное формализуется естественным образом – есть входной вектор параметров с компонентами V=(V₁-возраст, V₂-рост, V₃-вес, V₄-средняя оценка успеваемости, и т.д.), выраженными в числах. Эти частные пераметры-компоненты входного вектора называются в данной науке критериями На выходе должно быть число – балл, который называется обобщенным критерием или оценкой критерия. Таким образом, это не что иное как функция, называемая функцией полезности, функцией цели, функцией обобщенного критерия и пр., и которая в целом неизвестна. Как это неизвестна, а как же дяди ранжируют кандидатов? Да у них инструкция – рост побольше, вес и возраст поменьше, оценку за четверть опять побольше. Т.е. чем... тем лучше. И наоборот: чем... тем хуже.
Хм, а если у одного рост чуть побольше, а у другого оценка чуть повыше, тогда как? И выдумывают относительную или абсолютную важности критериев, сами критерии ранжируют, жизнь кипит-контора пишет. На каждый вопрос должен быть ответ, вот и усложняется наука, доводится до состояния, когда уже непонятно, а зачем она вообще нужна и не проще ли методом тыка и пальцем в небо на авось?
Обычно экспертов опрашивают именно о важности критериев: насколько важно, чтобы объект был повыше или постройнее или помоложе? Требуют выдать числовые оценки, которые потом добросовестно на что-то нормализуют и запихивают в качестве весов во взвешенную сумму вводимых параметров. Обычно в сумму, но некоторые умудряются запихивать в произведение или в сумму квадратов или что-то смешанное, да еще и в степень возведут – творчество масс границ не знает.
А выдумало ли человечество что-либо более величественное и значимое, чем детсадовское разложение гладкой фукции в степенной ряд Тейлора? Вряд ли, поэтому взвешенная сумма есть не что иное как линейная часть разложения неизвестной многомерной функции, а усилия экспертов сводятся к угадыванию частных производных – в двнном случае весов. Таким образом, несмотря на такую замудренную накоемкую накрутку, всё крутится вокруг линейного разложения, которое работает только если либо функция полезности a priori линейная либо мы рассматриваем её в достаточно малой области где линеаризовать позволительно. А что на практике? А на практике один эксперт приглашен из команды баскетболистов и знает, что лучше повыше, другой из театра лилипутов, сам лилипут и любит тех, что пониже, а представитель швейной фабрики «Большевичка» предпочитает стандарты – статистическое среднее – его сердца идеал. В этом случае мы наблюдаем, что по росту явно имеется экстремальная точка, но приглашенные эксперты нормализуют критерии не глядя на то, что точка разложения плавает от эксперта к эксперту, и сводят всё воедино и усредняют, как температуру по больнице.
А Вы про оптимум Парето слышали? Я так и думал.

Что Роберт Браун видел в свой микроскоп. Приятный аплет и с ним можно даже поиграться
http://www.investo.ru/digest/chaos_brown.html

Потерянный мир и куча мелких анимированных динозавриков.
http://lostworldplateau.homestead.com/lostworldplateau.html

Здесь говорят про искусственный разум и искусственную жизнь вообще
http://www.spnet.ru/alexkuck/aiforum/

Алгебра и теория чисел. Примерная программа дисциплины. Живо напоминает матмех.
http://gamma.niimm.spb.su/user/mbk/351500/ENProgs/Algebra.html

А вот еще забавная страничка для изучения математики. Формулы, формулы....
http://www.mstu.edu.ru/structure/faculties/ff/math/met3/mu_zu1.htm

Вот как выглядит паукообразный фрактал. Бывают и получше, но этот тоже хорош
http://www-rohan.sdsu.edu/faculty/symbol/newton.html

Для тех кому надо что-то оптимизировать, метод Ньютона-Рафсона крайне примитивен и эффективен
http://www.dai.ed.ac.uk/CVonline/LOCAL_COPIES/BMVA96Tut/node23.html

.http://www.eso.org/projects/esomidas/doc/user/98NOV/vola/node129.html

Нейрокибернетика, нейроинформатика, нейрокомпьютеры. Горбань и К.
http://neurnews.iu4.bmstu.ru/book/neurinf0/ann.htm

.Сказка о Тройке. Аркадий и Борис Стругацкие
http://www.fantasy.kiev.ua/S/Strug_/rar/Taletroi.htm
.
Понятие аналитического продолжения. Если кто-то забыл.
http://afrodita.phys.msu.ru/tfkp/tfkp2000/text/par13.htm
.
Курс вычислительной геометрии (англ.)
http://www-cgrl.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/cg-web.html
.
Метод Группового Учета Аргументов на английском. Во, Украина даёт!
http://www.inf.kiev.ua/GMDH-home/
.
Работы по аналитической геометрии с формулами и красивыми графиками.
http://www.gauss.ru/educat/systemat/dyachenko/lr1/1.asp
.
Кригинг интерполяция на плоскости. С красивыми картинками(англ.)
http://www.gauss.ru/educat/systemat/dyachenko/lr1/1.asp
.
.Свойства искусственных нейронных сетей. Популярно и по русски.
http://users.kpi.kharkov.ua/mahotilo/Docs/Diss/diss_ch15.html
.
Пакет SURFER. На русском.
http://visual.2000.ru/kolesov/pcweek/1995/pcw9516.htm
.
Наука, наука, наука,... эх, наука!. (рус.)
http://weblist.ru/russian/Science/index_all.html
.
Если вы желаете попрограммировать последовательный компорт, то вам сюда.
http://www.traverse.com/people/poinsett/bcbcomm.html
.
Здесь разговаривают кто о чем, а в частности, и о душе тоже.
http://recycle.psyberdelique.ru/
.
Международный клуб ученых, но какой-то нетрадиционной ориентации.
http://shaping.ru/mku/

Клуб ниспровергателей ТО. Андрей Ким "Теория Относительности и ошибки А.Эйнштейна".
http://rusnauka.narod.ru/lib/phisic/stoerror.htm

TEX для WEB.
http://hutchinson.belmont.ma.us/tth/

Нейронные сети - оружие финансиста
Этот нечеткий, нечеткий мир (все о нечеткой логике)
Тропою создателя (все об искусственной жизни) Реинжиниринг бизнес-процессов
http://www.tora-centre.ru
.
Молекулярная информация. Миф или реальность?
http://science.ng.ru/polemics/2000-03-22/3_molec_info.html

Зенкин Александр А., Зенкин Антон А., Насквозь дырявый континуум: от языка абстракций к языку образов. И обратно. – "Языки науки – языки искусства". Сборник научных трудов. – Издательство "Прогресс-Традиция", Москва, 2000. Стр. 172-179.

НАСКВОЗЬ ДЫРЯВЫЙ КОНТИНУУМ:

ОТ ЯЗЫКА АБСТРАКЦИЙ К ЯЗЫКУ ОБРАЗОВ. И ОБРАТНО.

Зенкин Александр А., Зенкин Антон А.

(Вычислительный Центр РАН, e-mail: alexzen@com2com.ru )

ВВЕДЕНИЕ.. - Как известно, в 1900 году, на II Международном Конгрессе математиков в Париже, Давид Гильберт сформулировал 23 важнейшие проблемы, которые во многом определили лицо всей математики ХХ века. И Первой среди этих знаменитых проблем математики он назвал именно Континуум-Гипотезу Георга Кантора. Однако, сам Кантор сформулировал свою Континуум-Гипотезу в 1878 году, т.е. более чем за полвека до появления того, что сегодня принято называть мета-математикой (или "теорией доказательства") и математической логикой. Можно поэтому констатировать,что ни исторически, ни "генетически" Континуум-Гипотеза не может быть рассматриваема как проблема современной мета-математики или современной математической логики. Возникает вопрос: к какой же области науки относится Континуум-Гипотеза? - Изучение истории этой проблемы позволяет с некоторым удивлением констатировать, что Континуум-Гипотеза относится к области обычной элементарной математики и не совсем обычной элементарной же логики.

Конечно, в науке нередко случается так, что новые методы, развитые в какой-либо одной области науки, помогают решить некоторые старые проблемы какой-то другой области науки. Так, например, знаменитые мета-математические достижения К.Геделя (1938) и П.Коэна (1963-1964) помогли доказать независимость обобщенной Континуум-Гипотезы в рамках аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля [1].

Весьма симптоматично, однако, что сам П.Коэн, касаясь вопроса о разрешимости Континуум-Гипотезы средствами современной мета-математики, высказывает весьма пессимистический прогноз [1]: "... Континуум-Гипотеза является весьма драматическим примером того, что (с нашей теперешней точки зрения) можно назвать абсолютно неразрешимым суждением, ..." (стр.13). К тому же, полное отсутствие какого бы то ни было прогресса в доказательстве (или опровержении) Континуум-Гипотезы средствами мощного аппарата современной мета-математики на протяжении последних десятилетий подтверждает обоснованность такого фатального пессимизма П.Коэна.

Таким образом, становится очевидной необходимость новых путей и подходов к решению Проблемы Континуума. Один из таких новых подходов к пониманию Проблемы Континуума, - был предложен нами в работах [2-5]. Этот не-мета-математический и не-математико-логический подход, основанный на так называемой технологии когнитивной семантической визуализации научных абстракций [6-10], позволил доказать, что Проблема Континуума является уникальной ПСЕВДО-Проблемой канторовской (а значит, и любой современной аксиоматической) теории множеств [2-5]. В настоящей работе описаны некоторые новые результаты, касающиеся гносеологического содержания дихотомической концепции "дискретное - непрерывное" и математической природы континуума.

1. КОНИТИВНАЯ СЕМАНТИЧЕСКАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ

ПРОБЛЕМЫ КОНТИНУУМА.

“Transfinite Numbers themselves are, in a certain sense, new irrationalities. Indeed, in my opinion, the method for the definition of finite irrational numbers is quite analogous, I can say, is the same one as my method for introducing transfinite numbers. It can be certainly said: transfinite numbers stand and fall together with finite irrational numbers.”

Georg Cantor.

Рис.1. Когнитивно-визуальный образ Проблемы Континуума:

a) нумерация уровней деревьев T_R и T_L;

b) степени основания 2 двоичной системы счисления;

c) двоичное представление "трансфинитно-бесконечных-в-обе-стороны" гипер-действительных чисел современного нестандартного анализа.

На Рис. 1, с помощью метода когнитивной семантической визуализации математических абстракций [6,7] построен когнитивный образ зеркального, т.е. изоморфного, 1-1-соответствия, скажем Y, между множеством Х всех действительных чисел х отрезка [0,1] и некоторым бесконечным множеством целых чисел Î .

Итак, бесконечный двоичный граф T_R , является моделью множества Х, а его зеркально-симметричный (здесь линия AB есть зеркало) образ - бесконечный двоичный граф T_L - является изоморфной, - в самом строгом математическом смысле, -моделью множества [2].

2. НЕКОТОРЫЕ "ЗЕРКАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ" ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕКОТОРЫХ "ЗЕРКАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ" ТЕОРЕМ.

По-видимому, первое применение "зеркально-симметричной" аргументации в мета-математических доказательствах принадлежит S.Kleene (см. его доказательство теоремы Кантора-Бернштейна в [11], стр. 18 ). Сегодня исследования по применению графической и визуальной симметро-логической аргументации в математических доказательствах проводятся в Visual Inference Lab of the Indiana University by J.Barwise, J. Etchemendy, E.Hammer [12-14]

Используя аналогичные идеи, сводящиеся к адекватной замене формального языка алгебраических изоморфизмов на язык зеркально-симметричных визуальных очевидностей (почти по L.E.J.Brouwer), сформулируем ряд зеркально-симметричных утверждений (теорем), основанных на когнитивно-визуальном образе 1-1-соответствия, Y , между двоичными деревьями T_R and T_L , представленными на Рис. 1 [2].

ТЕОРЕМА 1. ЕСЛИ геометрическая точка x отрезка [0,1] существует как индивидуальный объект, ТО соответсвующий бесконечный путь x дерева T_R достигает w-уровня этого дерева T_R.

СЛЕДСТВИЕ 1. Все бесконечные пути x дерева T_R достигают w-уровня этого дерева.

СЛЕДСТВИЕ 2. Путь x = 0.000...1_w (геометрическая точка в ее обычном смысле) представляет собой наибольшее трансфинитно-малое число (maximal infinitesimal).

ТЕОРЕМА 2. ЕСЛИ бесконечный путь x дерева T_R достигает его w-уровня, ТО соответствующий бесконечный путь дерева T_L тоже достигает w-уровня дерева T_L.

СЛЕДСТВИЕ 1. Все бесконечные пути дерева T_L достигают w-уровня этого дерева.

ТЕОРЕМА 3. ЕСЛИ путь дерева T_L достигает w-уровня ТО трансфинитное целое число является порядковым числом канторовского w-типа.

СЛЕДСТВИЕ 1. Путь = 1_w ... 000 представляет собой наименьшее трансфинитно-большое число, т.е. канторовское порядковое число w, имеющее счетную мощность À_0.

СЛЕДСТВИЕ 2 В силу Y, мощность множества всех ÎT_L равна мощности множества всех xÎT_R , т.е. имеет мощность континуума С.

ТЕОРЕМА 4. ЕСЛИ геометрическая точка x отрезка [0,1] существует как индивидуальный объект, ТО точно в таком же смысле (нас, однако, здесь даже не интересует, в каком именно!) существует канторовское наименьшее трансфинитное число w.

Здесь уместно особо подчеркнуть, что все зеркально-симметричные теоремы являются УСЛОВНЫМИ утверждениями. В частности, мы вовсе не утверждаем, что геометрические точки отрезка существуют как индивидуальные объекты. Но если согласиться с тем, что такие точки существуют именно как индивидуальные объекты, то следует с неизбежностью признать, что в том же точно смысле существуют и трансфинитные целые числа канторовского w-типа. Поэтому все возражения и сомнения, касающиеся свойств дерева T_L (особенно, вопроса о существовании и о довольно необычных свойствах трансфинитных целых чисел Î), автоматически (зеркально) переносятся на обычные свойства дерева T_R , в частности, на вопросы о существовании и свойствах обычных действительных чисел xÎX, или, что то же, обычных геометрических точек отрезка [0,1], т.е. все такие сомнения и возражения следует, в силу 1-1-соответствия Y, адресовать фундаментальным объектам и понятиям классической арифметики и классической геометрии.

В работах [2-5] были доказаны следующие основные результаты.

1. Пусть x Î X является иррациональным числом отрезка [0,1], т.е.

x = 0.a₁ a₂ a₃... a_i ... Þ £ 1, где " i [[a_i=0] or [a_i=1]]. (1)

Тогда, в общем случае, этому числу x, в силу Y, соответствует некий новый математический объект ,

, (2)

представляющий собой трансфинитное целое число Î порядкового типа w.

2. Все трансфинитные целые числа Î имеют один и тот же порядковый тип w.

3. Для любых двух действительных чисел x₁ , x₂ Î X,

т.е. любые два трансфинитные целые числа ₁ и ₂ являются онтологически различными математическими объектами в том же самом смысле, в каком являются различными два действительных числа x₁ and x₂ в рамках классической математики (см. провидческий эпиграф Г.Кантора к этому параграфу).

4. Любая бесконечная подпоследовательность натурального ряда чисел является индивидуальным математическим объектом - трансфинитным порядковым числом w-типа.

5. Теория множеств Г.Кантора содержательно неполна, поскольку в ней существует единственное трансфинитное целое число w-типа в то время, как множество таких чисел имеет мощность континуума.

6. Проблема Континуума в гильбертовском смысле доказательства/опровержения различных версий континуум-гипотезы представляет собой псевдо-проблему канторовской теории множеств.

3. СУЩЕСТВУЮТ ЛИ "ДЫРКИ" В НЕПРЕРЫВНОМ КОНТИНУУМЕ ?

Рассмотрим теперь когнитивный образ (изоморфную модель) континуума всех действительных чисел отрезка [0,1], представленный на Рис. 2. Здесь любое действительное число (точка) x Î X, представляется (единственным!) бесконечным путем вида:

x = V a₁ a₂ a₃ . . . a_n . . . , где "n [[a_n = 0] or [a_n = 1]],

так что x = £ 1 .

Справедливо и обратное утверждение: любой бесконечный путь на двоичном дереве Рис. 2 определяет единственное действительное число (точку) отрезка [0,1].

ЕГО КОРНИ ВВЕРХУ, ЕГО ВЕТВИ ВНИЗУ

- ТАКОВО ЭТО ДРЕВНЕЕ ФИГОВОЕ ДЕРЕВО.

ОНО ЕСТЬ ИСТИНА, ОНО ЕСТЬ БРАХМАН...

ВСЕ МИРЫ ЗИЖДУТСЯ НА НЕМ...

[Познание Брахмана. Katha-Upanishada, II, 3]

Рис.2. Когнитивно-визуальная модель множества X всех действительных чисел (точек) отрезка [0,1].

Поскольку наша Конференция называется "Языки науки - языки искусства", хочется подчеркнуть удивительную семантическую "корреляцию" между математическим языком современной теории графов и языком древне-индийского религиозно-философского эпоса, представленную на рис. 2.

Как известно, Брахман - одно из центральных понятий индийской философии и религии индуизма, космическое духовное начало, безличный абсолют, лежащий в основе всего сущего.

С другой стороны, отрезок [0,1] - модель наиболее важной концепции всей науки - идеи непрерывности. В конечном счете, все процессы, протекающие в Природе, характеризуются действительными числами, т.е. элементами отрезка [0,1]. Граф, изображенный на Рис. 2, называется в современной математической теории графов ДЕРЕВОМ, а его вершина V - называется КОРНЕМ этого дерева.

Казалось бы, индуистский Брахманизм (3000-5000 до н.э.) и математическая теория графов (начало ХХ века) не могут иметь между собой ничего общего. С обыденной точки зрения. Однако, даже чисто терминологическое совпадение описаний основных атрибутов Брахмана как фигового ДЕРЕВА, у которого КОРНИ ВВЕРХУ И ВЕТВИ ВНИЗУ …, и графической модели основного поняти науки - концепции непрерывности (где непрерывность - там и дикретность) в форме двоичного ДЕРЕВА, у которого КОРЕНЬ ВВЕРХУ, а ВЕТВИ (ПУТИ) УХОДЯТ ВНИЗ . . . - способны пробудить интуитивно-эстетические ассоциации весьма глубокого гносеологического значения.

Докажем теперь ряд простых утверждений о существовании и свойствах "дырок" в непрерывном континууме.

В мета-математических доказательствах несчетности континуума всех действительных чисел отрезка [0,1] очень большое внимание уделяется "строгости рассуждений". Так, например, С.Клини исключает якобы неоднозначность представления рациональных чисел с помощью СОГЛАШЕНИЯ о том, что две РАЗЛИЧНЫЕ двоично-рациональные записи

0.0111 . . . и 0.1000 . . . (3)

представляют одно и то же рациональное число (как будто устранение или неустранение счетного подмножества может повлиять на мощность несчетного, - и тем более континуального, - множества!?).

С другой стороны, Рис. 2 показывает, что два пути, соответствующие двум различным записям (3) суть онтологически различные математические объекты, отождествление которых означает, что эти два различные пути определяют на w-уровне одну и ту же рациональную точку или, что то же, имеют на w-уровне общую точку, что противоречит самому определению понятия "дерева" теории графов как графа, не имеющего циклов. Таким образом, мета-математическое СОГЛАШЕНИЕ об эквивалентности записей (3) является произвольным с точки зрения математики и просто некорректными с точки зрения логики. Более того, непосредственно на Рис. 2 видно, что два бесконечных пути вида (3) определяют две РАЗЛИЧНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ (ЧИСЛА) на w-уровне, между которыми не существует других бесконечных путей (точек, вещественных чисел) отрезка [0,1].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Два бесконечных рациональных пути вида (3) на бесконечном дереве Рис. 2, между которыми не существует других бесконечных путей, определяют "дырку" на отрезке [0,1], или, другими словами, два рациональных числа r₁ и r₂ , которым соответствуют бесконечные пути вида (3), определяют дырку в континууме

[0,1]. Очевидно, что расстояние между такими рациональными числами r₁ и r₂ равно lim{2^-n}, т.е. стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

В таком случае справедливы следующие утверждения.

ТЕОРЕМА 5. Любое действительное число x Î [0,1] такое, что 0 < x <>

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

0.a₁ a₂ . . . a_k, . . . (4)

бесконечный двоичный путь, соответствующий числу x. Фиксируем произвольное целое число k ³ 1, и рассмотрим начальный отрезок

0.a₁ a₂ . . . a_k,

пути (4). В таком случае, два рациональных пути

0.a₁ a₂ . . . a_k, 1 0 0 0 . . .

0.a₁ a₂ . . . a_k, 0 1 1 1 . . .

определяют "дырку" на отрезке [0,1].

СЛЕДСТВИЕ 1. Мощность множества, скажем G, всех дырок (gaps) на отрезке [0,1] не меньше мощности множества C всех бесконечных путей на дереве T_R, т.е. имеет мощность, не меньшую, чем мощность множества всей действительных чисел отрезка [0,1], т.е. |G| ³ C.

ТЕОРЕМА 6. Между любыми двумя действительными (в частности, рациональными) числами x₁, x₂ Î [0,1] такими, что |x₁-x₂| ¹ 0, содержится хотя бы одна "дырка".

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

0.a₁ a₂ . . . a_k,

общая часть двоичных путей действительных чисел x₁, x₂ Î [0,1]. Тогда бесконечные рациональные пути

0.a₁ a₂ . . . a_k, 1 0 0 0 . . .

0.a₁ a₂ . . . a_k, 0 1 1 1 . . .

определяют "дырку" между любыми двумя действительными числами x₁ и x₂ отрезка [0,1].

СЛЕДСТВИЕ 1. Множество "дырок" на отрезке [0,1] является всюду плотным.

4. ТРАНСЛЯЦИОННАЯ ФРАКТАЛЬНОСТЬ КОНТИНУУМА.

Как известно, фракталом называется геометрический объект, любая часть которого самоподобна исходному объекту. При этом такого рода самоподобие определено относительно операции масштабирования.

Как нетрудно видеть, каждая вершина двоичного дерева на Рис. 2 является корнем нового дерева, абсолютно геометрически подобного (тождественного) исходному дереву. Поэтому любой бесконечный путь, выходящий из корня V можно рассматри-

вать как процесс трансляции (переноса) реплики (т.е. экземпляра) исходного дерева в каждую вершину каждого пути, а само исходное дерево - как геометрический объект, обладающий трансляционной фрактальностью, т.е. как фрактал, на котором самоподобие определено относительно операции трансляции.

Отсюда, в частности, следует, что канторовская идея актуализации бесконечного ряда натуральных чисел 1,2,3, . . . представляется весьма сомнительной даже на интуитивном уровне, поскольку трудно вообразить себе актуальным, т.е. завершенным, процесс, любой, сколь угодно "далекий" n-тый шаг которого является всего лишь НАЧАЛОМ ИСХОДНОГО процесса в форме n+{1, 2, 3, . . . }, или, что то же, простой трансляцией (переносом) начала исходного бесконечного процесса в очередную текущую n-тую точку его потециально-бесконечной "реализации".

5. КОГНИТИВНАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ МОНАДОЛОГИИ ГОТФРИДА ВИЛЬГЕЛЬМА ЛЕЙБНИЦА.

Когнитивно-визуальная интерпретация Монадологии Г.В.Лейбница естественна и почти очевидна (см. Рис. 2): каждая вершина дерева, т.е. Простая Монада в смысле Лейбница, является корнем такого же дерева, ("растущего" вниз), т.е. порождает исходный Универсум в смысле Лейбница. Можно сказать, что онтологическая связь между любой вершиной дерева и исходным деревом имеет ту же семантику, что и связь между Монадой и Универсуумом Г.В.Лейбница.

Теперь посмотрите, пожалуйста, очень внимательно на рис. 2. И каждый, кто обладает визуальным мышлением и творческой интуицией (VISUAL THINKING MIND'S EYE) УВИДИТ и УСЛЫШИТ многие из тех великих МЫСЛЕЙ, которые много лет тому назад были высказаны [15] Великим Философом и Математиком,

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ:

53. Now, as in the Ideas of God there is an infinite number of possible universes, and as only one of them can be actual, there must be a sufficient reason for the choice of God, which leads Him to decide upon one rather than another. (Theod. 8, 10, 44, 173, 196 sqq., 225, 414-416.)

56. Now this connexion or adaptation of all created things to each and of each to all, means that each simple substance has relations which express all the others, and, consequently, that it is a perpetual living mirror of the universe. (Theod. 130, 360.)

57. And as the same town, looked at from various sides, appears quite different and becomes as it were numerous in aspects [perspectivement]; even so, as a result of the infinite number of simple substances, it is as if there were so many different universes, which, nevertheless are nothing but aspects [perspectives] of a single universe, according to the special point of view of each Monad. (Theod. 147.)

58. And by this means there is obtained as great variety as possible, along with the greatest possible order; that is to say, it is the way to get as much perfection as possible. (Theod. 120, 124, 241 sqq., 214, 243, 275.)

62. Thus, although each created Monad represents the whole universe, it represents more distinctly the body which specially pertains to it, and of which it is the entelechy; and as this body expresses the whole universe through the connexion of all matter in the plenum, the soul also represents the whole universe in representing this body, which belongs to it in a special way. (Theod. 400.)

63. . . . every Monad is, in its own way, a mirror of the universe, and as the universe is ruled according to a perfect order, there must also be order in that which represents it, i.e. in the perceptions of the soul, and consequently there must be order in the body, through which the

universe is represented in the soul. (Theod. 403.)

Acknowledgements. - The author wish to thank the International Science Foundation of G.Soros (Grant No. ZZ5000/114, 1995), the Russian Humanitarian Scientific Foundation (Grant No. 98-03-04348), the Russian Foundation for Basic Researches (Grant No. 98-01-00339) and Ministry of Science and Technologies of Russian (Grants No. 05.04.1179, No. 05.04.1221, 1996-1997) for the financial support of this work. Also, the author wish to thank his permanent co-author and collaborator, system programmer, Anton Zenkin,

6. Л И Т Е Р А Т У Р А

1.Cohen, Paul J. Set Theory and the Continuum Hypothesis. - Moscow : MIR, 1969.

2. A.A.Zenkin, "Cognitive Semantic Visualization Of The Continuum Problem And Mirror Symmetric Proofs In The Transfinite Numbers Theory". - The e-Journal "VISUAL MATHEMATICS", vol.1, issue 2 (1999) at the WEB-Site:

http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/zen/index.html or

http://members.tripod.com/vismath1/zen/index.html

3. Alexander A.Zenkin, Anton A.Zenkin, "ARTISTIC p-NUMBER GALLERY": COGNITIVE VISUALIZATION OF p-TRANSCENDENCY" at the WEB-Site:

http://www.com2com.ru/alexzen/galery/Galery.html

4. Zenkin A.A., Cognitive Visualization Of The Continuum Problem And Mirror Symmetric Proofs In Transfinite Numbers Mathematics. - ISIS-Symmetry Congress and Exhibitio. Abstracts, pp. 156. Haifa, Israel, 13-19 September, 1998.

5. Zenkin A.A. Cognitive Visualization of the Continuum Problem and of the Hyper-Real Numbers Theory. - International Conference "Analyse et Logique", UMH, Mons, Belgia, 25-29 August, 1997. Abstarcts, pp. 93-94 (1997).

6. Zenkin A.A., Cognitive computer graphics. - Moscow : "Nauka",1991.

7. A.A.Zenkin's WEB-Hompage (new): http://www.com2com.ru/alexzen

8. Zenkin A.A., Waring's problem from the standpoint of the cognitive interactive computer graphics. - "Mathematical and Computer Modelling", Vol.13, No. 11, pp. 9 - 37, 1990.

9. Zenkin A.A., Superinduction: A New Method For Proving General Mathematical Statements With A Computer. - Doklady Mathematics, Vol.55, No.3, pp. 410-413 (1997). Translated from Doklady Alademii Nauk, Vol 354, No. 5, 1997, pp. 587 - 589.

10. Zenkin A.A., Generalized Waring's Problem: G(m,r)£ G(0,r) +m+1 for any m ³ 1, r ³ 3. - Doklady Mathematics, vol 56, No. 1, pp. 499-501 (1997). Translated from Doklady Alademii Nauk, Vol 355, No. 2, 1997, pp. 151 - 153.

11. S.C.Kleene, Introduction to Metamathematics. - D.Van Nostrand Company, Inc., N.Y. - Toronto, 1952.

12. Barwise, Jon, and Etchemendy John, Hyperproof, Stanford: CSLI, and Cambridge: Cambridge University Press, 1994.

13. Hammer, Eric, Logic and Visual Information, in Studies in Logic, Language, and Computation, Stanford: CSLI and FoLLI, 1995.

14. Hammer, Eric M. Symmetry as a method of proof. J. Philos. Logic, v.25 (1996), no.5, 523-543.

15. LEIBNIZ G.W., Monadology, 1898; THE MONADOLOGY by Gottfried Wilhelm Leibniz translated by Robert Latta:

http://english-www.hss.cmu.edu/philosophy/leibniz-monadology.txt

Страницы